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1、SF01（数）Ch3函数极限计划课时：14时P21—302001．09．02．30Ch3函数极限§1函数极限概念（4时）一．时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域 其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．例1验证例2验证例3验证证……二．时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证30例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有三.单侧极限:1．定义：
2、单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th30类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=Ex[1]P622—5，7.§2函数极限的性质我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.一.函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使都有证设=(现证对有)註:若在Th4的条件中,改
3、“”为“”,未必就有30以举例说明.1.迫敛性(双逼原理):2.四则运算性质:(只证“+”和“”)Ex[1]P66—672，4，5.二．利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：（注意前四个极限中极限就是函数值）这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,参阅[4]P37—38.我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.参阅[4]
4、P37.例4[利用公式]30例5例6例7例8[4]P58E30例9例10已知求和参阅[4]P69.Ex[1]P66—673，6⑴⑵⑷⑸；[4]P82—83113，115，116，118.补充题:已知求和()§3函数极限存在的条件本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限为例.一.Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：Th1设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存在,对任何且都存在且相等.(证)Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为单
5、调趋于.参阅[1]P70.30例1证明函数极限的双逼原理.例2证明例3证明不存在.一.Cauchy准则:Th2(Cauchy准则)设函数在点的某空心邻域内有定义.则存在,,证(利用Heine归并原则)Cauchy准则的否定:不存在的充要条件.例4用Cauchy准则证明极限不存在.证取例5设在[上函数↘.则极限存在,在[上有界.(简证,留为作业).Ex[1]P721，2，3，4，6.提示:第1题用反证法,第4题用Heine归并原则.§4两个重要极限一．（证）（同理有）例1例2.30例3例4例5证明极限不存在.二
6、.证对有例6特别当等.例7例8例9Ex[1]P76—771，2，4.注意:第4题直接用双逼原理计算.§5无穷小量与无穷大量阶的比较一.无穷小量:定义.记法.例1判断:⑴可怜虫是很小很可怜的虫;()⑵无穷小量是很小很小的量.()30无穷小的性质:性质1(无穷小的和差)性质2(无穷小与有界量的积)例2无穷小与极限的关系:Th1(证)二.无穷小的阶:设时参阅[4]P42.1．高阶（或低阶）无穷小：2．同阶无穷小：一．等价无穷小：Th2(等价关系的传递性).等价无穷小在极限计算中的应用:Th3(等价无穷小替换法则)参
7、阅[4]P59.几组常用等价无穷小:设以作为基本无穷小,有等价关系:[4]P45—46的五组,再加上时(或时)的(或的)有理分式(分子次数小于分母次数)的等价无穷小.其中有些等价关系的证明以后陆续进行.例3时,无穷小与是否等价?例430四.无穷大量:1.定义:2.性质:性质1同号无穷大的和是无穷大.性质2无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用,可仿无穷小讨论,有平行的结果.3.无穷小与无穷大的关系:无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大.Ex[1]P841—5，
8、9；[4]P77—8236，37，38，69—72，84⑵，89，90，96，98，99，101—103.(单选题、填空题可以只写出答案)习题课例1设数集无界.试证明:存在数列{}使例2设为定义在上的递增函数.证明:极限存在的充要条件是函数在上有上界.例3证明:对其中是Riemann函数.例4设函数定义在内,且满足条件ⅰ>ⅱ>对有试证明是内的常值函数.30例5求极限注意=有界例6求和.解法一又解法二
