数学分析(西北师范大学(4)

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1、SF01（数）Ch17多元函数微分学计划课时：16时P215—2302002.08.20.230Ch17多元函数微分学(16时)§1可微性(4时)一．可微性与全微分：1．可微性：由一元函数引入.亦可写为,时.2．全微分:例1考查函数在点处的可微性.[1]P140E1二.偏导数:1.偏导数的定义、记法:2.偏导数的几何意义:[1]P142图案17—1.3.求偏导数:例2,3,4.[1]P142—143E2,3,4.例5.求偏导数.例6.求偏导数.例7.求偏导数,并求.例8.求和.解=,=.230例5证明函数在点连续,并求和.证.在点连续.,不存在.Ex[1]P1521⑴—⑼，2—4.[4]P3

2、54—35515，17，18，23，24.二.可微条件:1.必要条件:Th1设为函数定义域的内点.在点可微,和存在,且.(证)由于,微分记为.定理1给出了计算可微函数全微分的方法.230两个偏导数存在是可微的必要条件,但不充分.例5考查函数在原点的可微性.[1]P144E5.1.充分条件:Th2若函数的偏导数在的某邻域内存在,且和在点处连续.则函数在点可微.(证)[1]P145Th3若在点处连续,点存在,则函数在点可微.证.即在点可微.要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件.例6验证函数在点可微,但和在点处不连续.(简证,留为作业)230证因此,即,在点可微,.但时,有,沿方向不存在,

3、沿方向极限不存在;又时,,因此,不存在,在点处不连续.由关于和对称,也在点处不连续.二.中值定理:Th4设函数在点的某邻域内存在偏导数.若属于该邻域,则存在和,,使得.(证)例5设在区域D内.证明在D内.三.连续、偏导数存在及可微之间的关系：四.可微性的几何意义与应用：1．可微性的几何意义：切平面的定义.[1]P148.Th5曲面在点存在不平行于轴的切平面的充要条件是函数在点可微.(证略)2302.切平面的求法:设函数在点可微，则曲面在点处的切平面方程为（其中），法线方向数为，法线方程为.例5试求抛物面在点处的切平面方程和法线方程.[1]P150E63.作近似计算和误差估计:与一元函数对照,

4、原理.例14求的近似值.[1]P151E7例15应用公式计算某三角形面积.现测得,.若测量的误差为的误差为.求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限.[1]P151E8.Ex[1]P152—1535—14；§2复合函数微分法（5时）简介二元复合函数:.以下列三种情况介绍复合线路图:参阅[4]P327—328.;,;.230一.链导法则:以“外二内二”型复合函数为例.Th设函数在点D可微,函数在点可微,则复合函数在点可微,且,.(证)[1]P155称这一公式为链导公式.该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”（或“并联加，串联乘”）来概括.参阅[4]P328.对所谓“

5、外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数.但对外函数的可微性假设不能减弱.如[1]P156的例.对外元,内元,有，.外元内一元的复合函数为一元函数.特称该复合函数的导数为全导数.例1.求和.[1]P157E1例2,.求和.例3,求和.230例1设函数可微..求、和.例2用链导公式计算下列一元函数的导数:ⅰ>;ⅱ>.[1]P158E4例3设函数可微.在极坐标变换下,证明.[1]P157E2例4设函数可微,.求证.一.复合函数的全微分:全微分和全微分形式不变性.例5.利用全微分形式不变性求,并由此

6、导出和.[1]P160E5Ex[1]P160—1611—5.二.高阶偏导数:1.高阶偏导数的定义、记法：例9求二阶偏导数和.[1]P167E1例10.求二阶偏导数.[1]P167E22.关于混合偏导数:[1]P167—170.3.求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数:公式,[1]P171230例11.求和.[1]P171E34.验证或化简偏微分方程:例12.证明+.(Laplace方程)例13将方程变为极坐标形式.解.,,,.,;因此,.方程化简为.例5试确定和,利用线性变换将方程化为.解,.=+++=230=+2+.=+++==++.=++.因此,+(+.令,或或……,此时方程化简为.Ex

7、[1]P1831，2.§3方向导数和梯度（3时）一．方向导数：1．方向导数的定义：定义设三元函数在点的某邻域内有定义.为从点出发的射线.为上且含于内的任一点,以表示与两点间的距离.若极限230存在,则称此极限为函数在点沿方向的方向导数,记为或、.对二元函数在点,可仿此定义方向导数.易见,、和是三元函数在点分别沿轴正向、轴正向和轴正向的方向导数.例1=.求在点处沿方向的方向导数,其中ⅰ>为方向;ⅱ>为从点到点的