冲刺2021届高考数学存在问题之解决专题04 立体几何（文）（解析版）.doc

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1、备战2021高考数学最后冲刺存在问题之解决宝典专题四立体几何（文）【考生存在问题报告】（一）识图、作图、用图能力弱作图、识图、用图能力是考生学好立体几何所应具备的重要能力之一，学生的识图、作图、用图能力弱主要集中在“三视图的识别、还原”，“球问题的直观呈现和转化”，“作图问题”，“展折问题的图形分析”等．【例1】（2020·黑龙江哈尔滨三中高三月考）某几何体是圆锥的一部分，它的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题目所给的三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该

2、圆锥表面积的一半与截面面积的和.又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为，底面积为.观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为，则该几何体的表面积为：，故选：B【评析】本题易错点是忽视三视图中的实线与虚线的区别，导致所判断的空间几何体出错，从而所求的几何体的体积不正确．破解此类题的关键：一是会还原，首先看俯视图，俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽，根据俯视图画出几何体地面的直观图；再观察正视图和侧视图，正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽，找到几何体前、后、左、右的高度，要

3、特别注意视图中的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见的轮廓线在三视图中为虚线．二是用公式，即利用面积公式，求出空间几何体的面积．【例2】（2020·湖南长沙一中高三月考）已知球与棱长为的正方体的所有棱相切,点是球上一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是_______.【答案】.【解析】设与正方体的各棱都相切的球的球心为,其半径为,正方体的外接球为,则三角形的外接圆是正方体的外接球为的一个小圆,其半径.因为点在与正方体的各棱都相切的球面上运动,点在三角形的外接圆上运动,所以线段长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的各棱都相切的

4、球的半径,线段长度的最大值是正方体的外接球的半径加正方体的各棱都相切的球的半径,由此可得线段的取值范围是.故答案为：【评析】本题主要考查了正方体外接球与相切球的性质运用,需要根据题意判定取最值时线段长度与球半径的关系.属于中等题型.【例3】【2018年全国卷II文】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A.B.C.D.【解析】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则.故选C.【评析】1.求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利

5、用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角.（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.2.掌握求异面直线所成角的方法，观察和做出平行线是解答此类题的关键．如何作平行线，这是作图的基本功，教师要讲明原理（常利用中位线或平行四边形的性质作平行线），同时，要引导学生观察几何体（尤其是长方体中的一些常见的平行关系（如本题）的和垂直关系），这样，学生的作图就会更有方向感！【例4】（2020·广东高三期末）如图，在矩形中，

6、，为边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且使平面平面.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为在矩形中，，为边的中点，所以，又，所以所以，又平面平面，且平面平面，平面所以平面，而平面，故，又，且，平面，所以平面.（2）过点在平面中向引垂线，垂足，连接和，由得为的中点，所以，，由平面平面，，面，平面平面所以平面，而平面，所以，，故，设为的中点，连接，在等腰三角形中，，设点到平面的距离为，由，得，即，解得.【评析】本题往往会因对折叠问题前后的“变量与不变量”分析不够，而忽视重要的垂

7、直关系，（1）根据已知条件，得到，即，由平面平面，得到平面，从而得到，结合得到平面；（2）过点在平面中向引垂线，垂足，连接和，得到和的长，由平面平面，得到，从而得到，的长，设为的中点，在等腰三角形中，求出的长，利用，求出点到平面的距离.无论是图形的翻折或是展开，都是平面图形与空间图形的相互转化，从抽象到直观，直观到抽象的过程，其中翻折———平面图形立体化，展开———立体图形平面化．解决这类问题关键在于要分清展折前后的“变量与不变量”，建议在展折前的图形中进行标注重要的点（尤其前后坐标的不同），或是重要的量，这样可避免遗忘或忽略．（二）推理

8、的逻辑欠清晰2018年全国卷一、卷二均是“证算并重题”，卷三为证明题，期中卷一、卷三均是“折叠问题”.其解答题一般稳定居于解答题的第二或第三的位置，常设置两问之中，一问主要涉及定性证明（如垂直