2016年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题及答案.docx

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1、2016年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题及答案一、填空题（本大题共10个小题，每小题8分，共80分）1.函数的定义域是．答案：解：2.设实数满足向量，若，则实数的最小值为．答案：解：因为，所以，在条件下，求得的最小值为3.设、都为大于零的常数，，则的最小值为．答案：解：设，则1）当时，，因为都为正数，所以当时，；当时，故函数在处取得最小值2）当时，，因为为正数，所以当时，；当时，．故函数在处取得最小值综上所述，当时，的最小值为4.运行如图所示的程序框图，输出的结果的值为．答案：5.已知函数对应的曲线在点处的切线与轴的交点为，若，

2、则．答案：3．6.已知点在曲线上，点在曲线上，则的最小值是．答案：7.设，的整数部分用表示，则的值是．答案：8.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两的端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有种．答案：9.设函数的定义域为，若存在常数使对一切实数均成立，则称函数为“条件约束函数”．现给出下列函数：①；②；③；④是定义在实数集上的奇函数，且对一切均有其中是“条件约束函数”的序号是（写出符合条件的全部序号）．答案：①③④．10.已知线段是半径为的球的直径，、两点在球的球面上，，，则四面体的体积的取值范围是

3、．答案：二、解答题（本大题共3小题，共70分）11.（本小题满分20分）已知数列中，且（1）设，球数列的通项公式；（2）求证：对一切，有解：（1）当时，两边同时除以，得（2）证明：当时，当时，又当时，对一切，有12.（本小题满分25分）如图，点为△的垂心，以为直径的⊙和△的外接圆⊙相交于点，延长交于点，求证：点为的中点．证明：如图，延长交⊙于点，连接为⊙的直径，为⊙的直径．点为△的垂心，，四边形为平行四边形．点为的中点．13.（本小题满分25分）已知抛物线，以为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形．（1）求证：动直线过定点；（2）过

4、点作的垂线交于点，求点的轨迹方程．解：（1）设直线的方程为，得．即整理得或当，即时，直线的方程为过定点；（2）由（1）知，点的轨迹是以为直径的圆（除去点），其方程为