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时间:2018-07-14
《2010年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2010年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、选择题(每小题6分,共36分)1、选C.解:关于的方程最多有两不同的解,从而,必有一个方程有两个不相等的实根,另一个方程有三个不同的实数解.而由已知,只有有三个不同的实数解.不妨设,由于关于直线对称,必有,,,故=.2、选D.解:根据题意,令(1)(2)其中(1)得于是有以下三种可能:I经检验这组符合条件,此时IIIII综上所述,n只能取4.3、选A.解:对于正整数,被7除的余数规律是2,4,1,2,4,1,…;6被7除的余数规律是1,4,2,2,4,1,0,….所以,被7除所得余数的规律将呈周期性变化,周
2、期为21,且一个周期内恰有6个的值使能被7整除,故在小于10000的正整数中,共有2857个正整数满足条件.4、选A.解:以为公共顶点,正四面体的各面为底面,将正四面体分为四个三棱锥,它们的体积之和即为正四面体的体积,所以点到各面距离之和等于正四面体的高.四面体每个面三角形的高,从而,于是正四面体的高.5、选B.解:设双曲线的方程为半焦距为c,则由解得,这表明AB轴,又易知此时,结合解得双曲线的离心率6、选D.解:欲使方程有实根,应有.mn1234561ⅹⅹⅹⅹⅹⅹ2√ⅹⅹⅹⅹⅹ3√√ⅹⅹⅹⅹ4√√√√ⅹⅹ5√√√√√√6√√√√√√如上表,适合条件的m,n共有19组,
3、故.6二、填空题(每小题9分,共54分)1、1.解:由得,而,所以,又,故.2、.解:不妨设,则由条件,,于是,.由Cauchy不等式,,即,,所以,因此的最大值为(此时).3、[10,18].解:由条件,有……①,而,所以问题即求在条件①下目标函数的最值.经从图像分析可知,由得到的交点A(3,1)为的最小值,即;由得到的交点B(5,1)为的最大值,即.因此,.4、.6解:设点,则.于是,,所以.由,知.故,即.5、64.解:令,得.已知等式两边同时对求导,得.再令,由上式得.因此.6、160.解:设至少经过3点的直线有条,每条上的点数从多到少依次为:则由已知,有.又由
4、知.当时无解;当时,解得;当时无解.故有1条直线过其中4点,1条过3点,即三角形个数为.三、解答题(每小题20分,共60分)1、解:由,得,6于是.……………………5分从而===.……………………10分令,则比较系数,得x=1,y=0。于是,因此是以为首项,为公比的等比数列.………………15分从而,即.在上式中,令n=2009,得.……………………20分2、解:连结,易知椭圆内整点在轴上有两个、满足题意.……5分分别过点、作平行于直线的两条直线、,根据三角形同底等高面积相等可知,符合条件的整点均在直线、上.易知,故直线、的解析式分别为,.…………………………………………
5、………10分已知是椭圆内的整点,有.分别解与得,.……15分由是整点,且在直线、上,知为偶数,所以,在及中,分别有四个偶数.6故符合条件的整点的个数为8.………………………………………………20分3、解:(1)由知,当时,说明此时原函数是增函数,无极值,所以.……………………5分(i)当时,原函数的变化如下表:+0-0+(极大)(极小)从而由得,所以.…………10分(ii)当时,原函数的变化如下表:+0-0+(极大)(极小)从而由得,所以.因此,由(i)(ii),.……………………………………15分(2)(i)当时,由得,即.(ii)当时,由得,即.…………………20分
6、6
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