第二章多面体与旋转体锥体的体积.doc

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1、高中立体几何教案第二章多面体与旋转体锥体的体积教案教学目标1．使学生掌握锥体的体积公式及其初步应用；2．通过三棱锥体积公式的探求，教学生学习观察、类比、归纳、猜想等合理推理方法，培养学生分析、综合、抽象、概括等逻辑推理能力；3．通过三棱锥体积公式的探求，培养学生独立思考、刻苦钻研、孜孜以求的毅力及勇于探索创新的精神等良好的个性品质．教学重点和难点三棱锥体积公式及其探求．教学设计过程师：前几节课我们先后学习了祖暅原理和柱体的体积公式，在开始讲本章知识不久，我们还学习了锥体平行于底面的截面的性质．现在请同学们分别回忆一下上述三个知识内容，谁来回答锥体平行于底面的截面的性质是什么？生

2、1：如果棱锥（或圆锥）被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥（或圆锥）的高和原棱锥（或圆锥）高的平方比．师：很好！下面谁来回答祖暅原理是如何叙述的？生2：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．师：回答正确．请同学们一起回答：柱体的体积公式是怎么表示的？生：柱体的体积等于它的底面积乘以高，即V柱体=Sh．师：当这个柱体是圆柱时，其体积还有别的表达形式吗？生3：V圆柱=πr2h，其中r是底面半径，h是圆柱的高．师：不错．谁能说说底面积是S，高是h的柱体体积公式

3、的探求思路吗？生4：我们构造一个与所给柱体等底面积等高的长方体，把它与所给柱体的下底面放在同一个平面α上．由于它们上、下底面平行，且等高，故它们的上底面必在与α平行的同一个平面β内．现在用平行于α的任意平面去截它们时，由于所得的截面都与它们的底面分别平行，因此截面积都等于S．由祖暅原理知，它们的体积相等，而V长方体=Sh，所以V柱体=Sh．师：很好！生4利用祖暅原理获得了等底面积等高的柱体与长方体（两个柱体）等体积，那么等底面积等高的两个锥体的体积之间有什么关系呢？（师边问边板书“等底面积等高的两个锥体的体积之间的关系”一语）生：相等．师：你们怎么知道它们的体积是相等的？生：猜

4、想的．（也有的说是估计的）师：猜想也好，估计也罢，都是有风险的，尽管如此，但它常常是“发现”的先导．能证实你们的猜想吗？生5：用祖暅原理．设有任意两个锥体，不妨选取一个三棱锥，一个圆锥，并设它们的底面积都是S，高都是h（如图1）．①把这两个锥体的底面放在同一个平面α上，由于它们的高相等，故它们的顶点必在与α平行的同一个平面β上，即这两个锥体可夹在两个平行平面α，β之间；②用平行于平面α的任意平面去截这两个锥体，设截面面积分别为S1，S2，截面和顶点的距离是h1，体积分别生6：条件有两个：一个是两个锥体的底面积相等，另一个是这两个锥体的高相等．结论是体积相等．（由学生提出问题、分

5、析问题并解决问题，这是对学生最高层次的要求．当学生达不到这个层次时，可由老师提出问题，学生分析问题和解决问题．老师提出问题后要给学生观察、比较、分析、归纳、猜想、发现的时间．著名数学教育家波利亚曾指出：只要数学的学习过程稍能反映出数学发明的过程，那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置．猜想后还要严格地证明，合情推理与逻辑推理并重，既教证明又教猜想，这才是解决问题的完整过程．）师：上述定理只是回答了具有等底面积等高的两个锥体的体积之间的相等关系，但这个体积如何求出，能否像柱体那样有一个体积公式仍然是一个谜．然而它却给我们求锥体体积一个有益的启示：只须找到一个“简单”的锥体作为代

6、表，如果这个代表的体积求出来了，那么，由上述定理即可获得其它锥体的体积了．请同学们思考用怎样的“简单”锥体作代表来研究呢？　　　　　师：先割后补与先补后割是处理几何问题时常用的方法，即我们常说的割补法．类比地，能否将这一思维方式迁移到探求三棱锥的体积上来呢？生：（几乎异口同声地）能！师：那么是采用先割后补，还是先补后割呢？邻近的同学可以相互讨论一下．（学生之间小声讨论，选择这两种方法的学生都有）师：我们请一位同学说说自己选择的方法及其理由，谁来说？生9想好了吗？生9：我认为先补后割比较好，至于先割后补，我觉得不行．师：能说说否定先割后补的理由吗？生9：……（似有难色）师：谁能试

7、着割一下？生10：对一个三棱锥进行分割，实际上是用一个平面去截它．无论怎么截，得到的要么仍是三棱锥，要么是比三棱锥更为复杂的几何体．所以对三棱锥再分割是不合适的．师：其他同学以为如何？生：生10的解释是对的．师：既然如此，我们可否定先割后补，而肯定先补后割，刚才生9就是这个意见，现在也是大家的意见了．那么，补成怎样的几何体较合适呢？生：补成三棱柱．师：谁能具体说说？生11：把三棱锥A＇－ABC以底面△ABC为底面，AA＇为侧棱补成一个三棱柱ABC－A＇B＇C＇．师：请你在黑板上具体补出来．生