高阶谱讲义第4章.doc

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1、第4章非高斯有色噪声中的谐波恢复——噪声为非对称分布且信号不含二次相位耦合的情形在实际应用中，有色的非高斯噪声环境情形在声纳系统和信号检测中常常遇到，而具有非对称分布的非高斯分布是一种很常见的情形，如指数分布、威布尔分布等，因此，研究具有非对称分布的非高斯噪声中的谐波恢复方法具有广泛的应用前景。本章首先分析了谐波信号和非高斯有色噪声的三阶累积量特性，由于谐波信号的三阶累积量恒等于零，而具有非对称分布的非高斯ARMA有色噪声的三阶累积量不等于零，因此，利用有噪观测值的三阶累积量可以建立非高斯ARMA噪声的模型参数。由于有噪观测值经噪声模型的AR多项式滤波

2、后得到的滤波输出过程的自相关函数和滤波信号预测模型的AR参数正好满足一组特殊懂得修正Ylue-walker方程，因此，基于自相关的高分辨率方法都可以用来确定模型的参数。基于这一点，给出了STCH-ESPRIT方法。噪声特点：三阶累积量不为零。谐波信号：三阶累积量为零。思路：　　　　　　　§4.1　模型假设设零均值有噪观测值为　　　　　　　　　(4.1)其中，可以是复数谐波信号　　　　　　　　　(4.2)也可以是实数谐波信号　　　　　　　　　　　(4.3)这里，为谐波数目，，和分别为第个谐波分量的幅度、归一化频率　随机初始相位，为独立地服从同一分布的随机

3、变量，且在上服从均匀分布。设附加噪声为高斯过程，即　　　　　(4.4)或(4.5)其中，为后移因子即。对于噪声模型　，假设（1）噪声模型的传递函数(单位冲激响应为)是指数稳定的，且不存在着零、极点相消（2）为零均值、平稳的独立同分布非高斯白噪声，，，且的方差和均未知（3）与相互独立。条件(2)意味着为零均值且具有非对称分布的非高斯过程。由于谐波信号为零均值，因此，有噪观测过程也为零均值。本章的目的就是由有噪观测值估计谐波信号参数。§4.2　基于二阶和三阶累积量混合的ESPRIT方法4.2.1预滤波处理式(4.1)两边同乘以并利用式(4.5)，有记　　　

4、　　　　　　(4.6)　　　　　　　　　(4.7)　　　　　　　　　(4.8)则(4.9)称为滤波输出过程，为滤波谐波信号。注意到，为一非高斯噪声过程，其自相关函数为(4.10)4.2.2矩阵对的构造设，并取，构造下列维向量(4.11)(4.12)(4.13)并记　　　　　　　　(4.14)　(4.15)则由式(4.9)可得　　　　　　　　　　　　　(4.16)　(4.17)(4.18)下面考查复数滤波谐波信号向量。设谐波信号向量为　　　　　　　(4.19)则可以表示为　　　　　　　　　　　　　　　(4.20)其中　　　　　　　　(4.21)(4.22

5、)而向量(4.23)可以表示成(4.24)其中，旋转因子矩阵，表示矩阵的次连乘。由式(4.7)可知(4.25)类似地，有　　　　　　　　　(4.26)若记，则上面两式可简化为　　　　　　　　　　　　(4.27)(4.28)这样，式(4.16)～(4.18)即为(4.29)(4.30)(4.31)由于与相互独立且均为零均值，所以与的互相关矩阵为(4.32)考虑到(4.33)且　　(4.34)上式中利用了和式(4.10)。于是(4.35)类似地，与的互相关矩阵为　　　　　　　　(4.36)若记　　　　　　　　　　　　　(4.37)则(4.38)(4.39)

6、而实际上，　(4.40)(4.41)其中，。至此，基于滤波输出过程的自相关函数矩阵对已经构造完成。4.2.3STCH-ESPRIT方法1.谐波数目和谐波频率的估计定理4.2　设为矩阵对的广义特征值矩阵，为非奇异矩阵，则旋转因子矩阵与有如下关系(只须的对角线元素作适当调整)　　　　　　　　　(4.42)证明：由于，且，所以。考虑到噪声模型是指数稳定的，于是不存在着单位圆上的极点，即当时，，故是维非奇异对角阵，又由于和均为维非奇异对角阵，所以也是维非奇异对角阵，于是的秩为。考查下列矩阵束　　　　　　(4.43)由于与的行空间相同，所以，通常情况下，的秩为。

7、如果，则的第列为零，这样(4.44)即矩阵束的秩为，由广义特征值的定义可知，实际上就是矩阵对的广义特征值。又由于矩阵对中的两个矩阵描述的是同一个空间，它们的共同零空间对应的广义特征值必为零，因此，矩阵对的个广义特征值位于单位圆上，并与旋转因子矩阵的对角线元素相等，而其余个广义特征值位于原点。1.谐波幅度的估计重新考查矩阵，由于(4.45)(4.46)(4.47)(4.48)式(4.47)中考虑了为实数这一事实。所以若令(4.49)则　　　　　　　　(4.50)设是矩阵对对应于广义特征值的广义特征向量，则　　　　　　　　　　(4.51)由于矩阵束的行空间

8、与由中列向量描述的子空间相同，因此向量与所有向量都正交，即　　　　　　(4.52)(4.53)