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1、数值计算方法第七章解线性方程组的数值方法7.1引言7.2Gauss消去法第七章解线性方程组的数值方法7.3选主元的Gauss消去法7.4矩阵的三角分解7.5向量和矩阵的范数7.6解线性方程组的迭代法7.7病态方程组和迭代改善法7.5向量及矩阵的范数"范数"是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广数域:数的集合,对加法和乘法封闭线性空间:可简化为向量的集合,对向量的加法和数量乘法封闭,二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度高维向量的"长度"能否定义呢?也称为向量空间定义1.一、向
2、量和矩阵的范数--------(1)--------(2)--------(3)显然并且由于--------(4)例4.求下列向量的各种常用范数解:定义（向量序列的极限）设为向量序列，记及如果n个数列极限存在且则称收敛于,记为定理6设是上任一向量范数,则是的分量的连续函数。定理7设是上向量的任意两种范数，则存在常数,使得对一切有……（5.1）定理8设是中一上向量序列，且则定义3.例5.不难验证其满足定义2的4个条件称为Frobenius范数,简称F-范数而且可以验证tr为矩阵的迹--------(5)--
3、------(6)类似向量的2-范数定义4.--------(7)简称为从属范数或算子范数显然，由定义不难推出定义5.由(8)式,可知算子范数和其对应的向量范数是相容的--------(8)--------(9)根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵算子范数--------(10)--------(11)--------(12)例6.求矩阵A的各种常用范数解:由于特征方程为容易计算计算较复杂对矩阵元素的变化比较敏感不是从属范数较少使用使用最广泛性质较好7.6解线性方程组的迭代法在用直接法解线性方程组时要对系
4、数矩阵不断变换如果方程组的阶数很高,则运算量将会很大并且大量占用计算机资源因此对线性方程组要求找寻更经济、适用的数值解法--------(1)如果能将线性方程组(1)变换为--------(2)显然,(1)式和(2)式同解,我们称(1)(2)等价对线性方程组(2),采用以下步骤:依此类推--------(3)这种方式就称为迭代法,以上过程称为迭代过程迭代法产生一个序列如果其极限存在,即则称迭代法收敛,否则称为发散一、简单迭代法(基本迭代法)设线性方程组(1)的一般形式为依此类推,线性方程组(1)可化为--
5、---(4)--------(5)对(4)作迭代过程则(5)式转化为矩阵形式--------(6)令故迭代过程(6)化为等价线性方程组为--------(7)称(5)式和(7)式为解线性方程组(1)的Jacobi迭代法(J法)例6.用Jacobi迭代法求解方程组,误差不超过1e-4解:依此类推,得方程组满足精度的解为x12迭代次数为12次x4=3.02411.94780.9205d=0.1573x5=3.00031.98401.0010d=0.0914x6=2.99382.00001.0038d=0.01
6、75x7=2.99902.00261.0031d=0.0059x8=3.00022.00060.9998d=0.0040x9=3.00031.99990.9997d=7.3612e-004x10=3.00001.99990.9999d=2.8918e-004x11=3.00002.00001.0000d=1.7669e-004x12=3.00002.00001.0000d=3.0647e-005分析Jacobi迭代法(5)的迭代过程,将(5)式细化考虑迭代式(7)即将上式改为--------(8)----
7、----(9)上式称为Gauss-Seidel迭代法,简称G-S法利用(8)式展开Gauss-Seidel迭代法也可表示成例7.用Gauss-Seidel迭代法求解例6.解:通过迭代,至第7步得到满足精度的解x7x1=2.50002.09091.2273d=3.4825x2=2.97732.02891.0041d=0.5305x3=3.00981.99680.9959d=0.0465x4=2.99981.99971.0002d=0.0112x5=2.99982.00011.0001d=3.9735e-00
8、4x6=3.00002.00001.0000d=1.9555e-004x7=3.00002.00001.0000d=1.1576e-005从例6和例7可以看出,Gauss-Seidel迭代法的收敛速度比Jacobi迭代法要高.高斯-赛得尔迭代法与雅可比迭代法都具有算式简单、易在计算机上实现等优点,且每迭代依次一次秩只需计算一次矩阵与向量的乘法.且前者比后者需要的存储单元要少.对于给定的矩阵线性方程组,用两种求解时,可能都收敛,
