复习-数值计算方法ppt课件.ppt

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1、数值计算方法复习第一章误差要求掌握：误差的基本概念和性质，绝对误差及绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字之间的关系。了解误差的来源及传播，并会由此分析算法的收敛性及数值稳定性，理解在算法设计中应注意的事项。第一章误差绝对误差和绝对误差限相对误差和相对误差限概念一：绝对误差、相对误差和有效数字则说x*近似表示x准确到小数后第n位，并从这第n位起直到左边的第一个非零数字之间的一切数字都称为有效数字，并把有效数字的位数称为有效位数。有效数位为4位若准确值x经过四舍五入得到近似数a，则自左向右的第一个非零数字到四舍五入得到的最末一个数字称为近似数a的有效数字。概念

2、一：绝对误差、相对误差和有效数字则说x*近似表示x准确到小数后第n位，并从这第n位起直到左边的第一个非零数字之间的一切数字都称为有效数字，并把有效数字的位数称为有效位数。有效数位为4位一般的，如果近似值x*的规格化形式为x*=±0.a1a2…an…×10m例x*=1452.046是具有7位有效数字的近似值，则它的误差限为概念一：绝对误差、相对误差和有效数字X*具有n位有效数字概念二：误差的传播和累积和、差、积、商的误差限为例设y=xn，求y的相对误差与x的相对误差之间的关系例假定运算中数据都精确到两位小数，试求x*=1.21×3.65-9.81的绝对误差限和相对

3、误差限，计算结果有几位有效数字习题1：为了保证计算球体体积时的相对误差不超过1%，问测量半径R时允许的相对误差限是多少？解：球体的体积计算公式为数值计算中应该注意的一些原则1．要使用数值稳定的算法2．要避免两个相似数相减例：求（n=0,1,2,…,8）的值。的值。当x=1000，y的准确值为0.01580例:求3.绝对值太小的数不宜作除数第二章解线形方程组的直接法理解高斯消去法的基本原理及实现条件，理解按列选主元策略的原因，掌握消去法的计算过程，熟练使用高斯消去法解线性方程组。理解高斯消去法对应的矩阵操作。熟练掌握矩阵的三角分解法，LU分解法。能够利用其求解线性

4、方程组。掌握向量和矩阵泛数的定义及其性质，会计算常用的3种泛数。了解矩阵条件数的定义，明确条件数与方程组性态的关系，能够进行初步的扰动分析。第二章解线形方程组的直接法高斯消去法例：单精度解方程组/*精确解为和*/8个8个用Gauss消元法计算：8个小主元可能导致计算失败。列主元消元法在Gauss消元第k步之前，做如下的事情：若交换k行和j行例：行的交换，不改变方程组的解，同时又有效地克服了Gauss消元地缺陷。Gauss消去法的矩阵表示Gauss消去法的矩阵表示每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵LkLU分解设A为n阶方阵，若A的顺序主子式Ai均不为零，则矩阵

5、存在唯一的LU(Doolittle杜利特尔）分解。用LU分解法解方程组所以求解时，A和的误差对解有何影响？设A精确，有误差　，得到的解为，即绝对误差放大因子又相对误差放大因子线性方程组的性态和解的误差分析设精确，A有误差　，得到的解为，即(只要A充分小，使得是关键的误差放大因子，称为A的条件数，记为cond(A),越大则A越病态，难得准确解。定义5：设A为n阶非奇矩阵，称数为矩阵A的条件数，条件数的性质：ⅰ）cond(A)≥1ⅱ）cond(kA)=cond(A)k为非零常数ⅲ）若，则记为cond(A)。习题1：用高斯消去法解方程组习题2：用列主元高斯消去法

6、解方程组（浙江大学2000年研究生入学考试题）习题3：设有线性方程组Ax=b，其中已知它有解X=[1/2,1/3,0]T。如果右端有小扰动，试估计由此引起的解的误差。（华中科技大学2002年研究生入学考试题）求解时，A和的误差对解有何影响？设A精确，有误差　，得到的解为，即又线性方程组的性态和解的误差分析理解向量序列及矩阵序列收敛极限的定义与收敛的充分必要条件。掌握线性方程组迭代法求解的思路。能够利用迭代法收敛的充分必要条件（迭代矩阵谱半径小于1）或充分条件（迭代矩阵泛数小于1），判别迭代方法的收敛性。熟练掌握Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法

7、和超松弛迭代法的计算过程。第三章线性方程组的迭代法对方程组做等价变换如：令，则则，我们可以构造序列若同时：所以，序列收敛与初值的选取无关迭代过程B称为迭代矩阵。给定初值就得到向量序列定义：若称逐次逼近法收敛；否则称逐次逼近法不收敛或发散。一、Jacobi迭代法例1.用Jacobi迭代法求解方程组,误差不超过1e-4解:依此类推迭代次数为12次x4=3.02411.94780.9205d=0.1573x5=3.00031.98401.0010d=0.0914x6=2.99382.00001.0038d=0.0175x7=2.99902.00261.0031d=0.

8、0059x8=3.000