第二章矩阵及其运算最终版ppt课件.ppt

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1、第二章矩阵及其运算一、矩阵及其运算二、逆矩阵、分块矩阵本章要点§2.1矩阵一、矩阵的定义二、几种特殊矩阵三、同型矩阵与矩阵相等的概念四、小结一、矩阵的定义由个数排成的行列的数表称为矩阵.简称矩阵.记作简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.例如是一个实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.例如是一个3阶方阵.二、几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).称为对角矩阵(或对角阵）.（3）形如的方阵,不全为0（4）

2、元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如记作(5)方阵称为单位矩阵（或单位阵）.三、同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.全为12.两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作例如为同型矩阵.四、小结(1)矩阵的概念(2)特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;零矩阵.思考题矩阵与行列式有何区别?思考题解答矩阵与行列式有本质的区别:(1)行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表;(2)行列式的行数和列数必须相同，而矩阵

3、的行数和列数可以不同.§2.2矩阵的运算一、矩阵的加法、减法二、数与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘四、矩阵的转置五、方阵的行列式１、定义一、矩阵的加法、减法设有两个矩阵将矩阵与的和记作，规定为2、矩阵加法的运算规律1、定义二、数与矩阵相乘2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为实数）1、定义并把此乘积记作设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中三、矩阵与矩阵相乘例１设例2故解注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘！！！例如不存在.2、矩阵乘法的运算规律（其中

4、为数）;若A是阶方阵，则为A的次幂，即并且注意矩阵不满足交换律！！！即：例设则例3计算下列乘积：解例4设解3、矩阵相乘的三大特征1、无交换律2、无消去律3、若定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例１、转置矩阵四、矩阵的转置2、转置矩阵的运算性质例4已知解法1：两矩阵先相乘，然后转置解法2：两矩阵分别转置后，再相乘3、对称阵定义设为阶方阵，如果满足，即那末称为对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等说明例5设列矩阵满足证明五、方阵的行列式1、定义由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或2、运算性质3

5、、定义行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵性质证明则称为矩阵的伴随矩阵.五、小结矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.注意（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.思考题成立的充要条件是什么?思考题解答答故成立的充要条件为§2.3逆矩阵一、逆矩阵的概念和性质二、逆矩阵的求法三、矩阵的多项式四、小结一、逆矩阵的概念和性质定义对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵,则说

6、矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵.使得例设说明若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的若设和是的可逆矩阵，则有可得所以的逆矩阵是唯一的,即定理1矩阵可逆的充要条件是，且证明(1)必要性若可逆，(2)充分性按逆矩阵的定义得证毕奇异矩阵与非奇异矩阵的定义逆矩阵的运算性质证明证明例1求方阵的逆矩阵.解二、逆矩阵的求法(伴随阵法)同理可得故例2求下列矩阵的逆，其中解1）依对角矩阵的性质知：依矩阵的逆的定义，必有易知：解2）即例3求解设且满足有而设求例4其中为矩阵的伴随矩阵.解例5解矩阵方程解所以可逆.由，得例6可逆，并求它们的逆矩阵.由设方阵满足方程，证明证

7、明所以可逆.例7解给方程两端左乘矩阵给方程两端右乘矩阵得给方程两端左乘矩阵得给方程两端右乘矩阵例8设三、利用逆阵解线性方程组使用矩阵符号线性方程组写成其中解为逆矩阵法与克拉默法则的关系当线性方程组的系数行列式时方程组的解可以表示为（1）（2）二者有什么关系呢？五、矩阵的多项式与变量x的多项式相对应，可以定义矩阵A的多项式：例13中计算An的方法常被用来计算A的多项式：（1）如果则从而（2）如果为对角阵，则，从而四、小结逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法逆矩阵存在§2.4矩阵分块法一、矩阵的分块二、分块矩阵的运算法则三、小结一、矩阵的分块

8、对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将大矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个