高中数学 平面向量的基本定理及坐标表示 第1课时 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4.ppt

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1、2．3平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组．不共线基底2．两向量的夹角与垂直(1)已知两个非零向量a和b，作＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的．显然，当θ＝0°时，a与b；当θ＝180°时，a与b．(2)如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.夹角同向反向90°4．设e1、e2是两个不共线的向量，若向量a＝2e1－e2与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，则λ

2、的值为()A．0B．－1C．－2D．[答案]D重点：平面向量基本定理．难点：平面向量基本定理的应用．关于平面向量基本定理的掌握须注意以下几点：1．平面内任意一对不共线向量e1、e2均可作为表示这一平面内所有向量的基底．注意“不共线”的条件与“非零向量”条件的区别，不共线一定非零，非零未必不共线．2．同一向量a，用同一基底表示的结果是惟一的．[例1]如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()①a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1

3、＋μ2e2共线，则④若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②[分析]应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e1与e2不共线和平面内向量a用基底e1、e2表示的惟一性求解．[解析]由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立．故选B.已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为()A．λ＝0B．e2＝0C．e1∥e2D．e1∥e2，或λ＝0[答案]D[解析](1)若e1与e2不共线

4、，∵a与b共线，∴存在实数x，使a＝xb(b≠0)，∴e1＋λe2＝2xe1，∴(1－2x)e1＋λe2＝0，(2)若e1与e2共线，设e1＝xe2，则a＝e1＋λe2＝(x＋λ)e2，b＝2e2，综上知，a与b共线的条件为e1∥e2或λ＝0.已知e1，e2是平面内两个不共线向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，用a和b表示c，则c＝________.[答案]a－2b[解析]∵e1与e2不共线，∴a与b不共线，设c＝λa＋μb，则c＝λ(3e1－2e2)＋μ(－2e1＋e2)＝(3λ－2μ)e1＋(μ－2λ)e2，又∵c＝7e1－4e2，由基底表示向量的惟一性

5、知，[例4]如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求APPM的值．证明三角形的中位线定理．[例5]已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？[解析]∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2.故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．若a、b是两个不共线的向

6、量(t∈R)，a、tb、(a＋b)三向量的起点相同，若三向量的终点共线，则t＝________.[例7]已知c＝ma＋nb，设a、b、c有公共起点，要使a、b、c的终点在一条直线上，m、n(m、n∈R)需满足的条件是()A．m＋n＝－1B．m＋n＝1C．m＋n＝0D．m＋n的值不确定[辨析]对平面向量基本定理的条件不清．平面向量基本定理中所说的平面α内任意向量m可用平面α内的两个向量e1与e2线性表示且表示的结果是惟一的，其先决条件是不共线．[正解]当a，b不共线时，同错解可得m＋n＝1；当a与b共线时，不妨设b＝λa，则c＝(m＋λn)a，于是a，b，c的起点相同时，终点始终在同一条直

7、线上，与m、n、λ的值无关，综上可知m＋n的值不确定，故选D.一、选择题1．设O是▱ABCD两对角线的交点，下列向量组：其中可作为这个平行四边形所在平面内的所有向量的基底的是()A．①，②B．①，③C．①，④D．③，④[答案]B2．a，b，a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则()A．a＝bB．a⊥bC．

8、a

9、＝

10、b

11、D．以上都不对[答案]C[解析]由向量加法的平行四边形法则知，若a＋b平分a与b的夹角，则对应的四边形是菱形