高三数学教案：函数的和差积商的导数1.docx

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1、函数的和差积商的导数（1）目的要求1.了解函数的和差积的推导.2.掌握两个函数的和、差、积的求导法则.3.能正确运用两个函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数.教学过程一、导入新课1.复习求下列导数：（xn）',(x3)',(x2)'.2.提出问题：求函数y=x3+x2的导数.（1）利用导数定义求f(x)x3x2的导数.f'(x)limf(xx)f(x)=lim(xx)3(xxx)2(x3x2)x0xx0lim3x2x3x(x)2(x)32xx(x)2=lim(3x23xx(x)22x+x0xx0x)3x22x.（2）探究:(x3)'3x2,

2、(x2)'2x,(x3x2)'3x22x.结论:(x3x2)'(x3)'(x2)'.3.猜想:[u(x)v(x)]'?[u(x)v(x)]'?.二、新授1.对上面猜想的证明:[u(x)v(x)]'u'(x)v'(x).证明:令yf(x)u(x)v(x).y[u(xx)v(xx)][u(x)v(x)][u(xx)u(x)][v(xx)v(x)]uv.yuu.xxxlimyuvlimulimv即[()()]'u'(x)v'().xlimxx.uxvxxx0x0xx0x0x2.法则1两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),第1页共3页即:(uv)'u

3、'v'.3.范例:①求yx3sinx的导数.②求yx4x2x3的导数.4.法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:(uv)'u'vuv'.指导学生尝试法则2的证明:令yf(x)u(x)v(x).yu(xx)v(xx)u(x)v(x)=u(xx)v(xx)u(x)v(xx)u(x)v(xxu(x)v(x).y=u(xx)u(x)v(xx)u(x)limvA(xx)v(x).xxx0x因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当x0时,v(xx)v(x).从而limylimu(xx)u(x)v(xx

4、)u(x)limv(xx)v(x)x0xx0xx0xu'(x)v(x)u(x)v'(x).即:y'(uv)'u'vuv'说明:1.(uv)'u'v'.2.若C为常数,则(Cu)'C'uCu'0Cu'Cu'.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数.(Cu)'Cu'.三、例题例1求y2x33x25x4的导数.例2求y(2x23)(3x2)的导数.解法1:y'(2x23)'(32)(2x23)(32)'4x(32)(2x23)3xxx18x28x9.=第2页共3页解法2:y(2x33)(3x2)6x34x29x6y'18x28x9.注:在可能的情况下,求导时应尽量少

5、用甚至不用乘积的求导法则.例3求yx(x211)的导数.xx3例4求y(x1)(11)的导数.x例5求yxsinxcosx的导数.22提示:在求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错。四、作业同步练习X03031第3页共3页