斐波那契数列的性质.doc

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1、斐波那契数列的性质一、通项公式：an=〔〕n-〔〕n二、设p,q,u,v为自然数且p=min{p,q,u,v}.若p+q=u+v,则对于斐波那契数列{an},以下公式恒成立:apaq-auav=(-1)p+1au-paq-u三、-=(n>=1,n属于N)四、=+（n属于N）五、-=(n>=1,n属于N)六、=+(n>=1,n和m属于N)七、-=1(n>=1,n属于N)八、-=*(m>n>=1)九、-=(n>=2)十、{}有极限且等于黄金分割率下面是一篇文章：斐波那契额数列的性质与应用“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo

2、Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(LiberAbaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。  斐波那契数列通项公式　　斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……　　这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为:(见图)（又叫“比内公式

3、”，是用无理数表示有理数的一个范例。）有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。奇妙的属性随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……　　从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）　　如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶

4、地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。　　斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。　　斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：　　1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1　　2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)　　3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n)=f(2n+1)-

5、1　　4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)　　5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1　　6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)　　利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（logn）的程序。　　7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)　　8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2　　9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)　　10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m

6、+2)+f(4n-2m)[n〉m≥-1,且n≥1]  斐波那契数列在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列　　1　　11　　121　　1331　　14641　　……　　过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……斐波那契数列与黄金比　　1/1=1，2/1=2，3/2=1.5，5/3=1.6…，8/5=1.6，…………89/55=1.61818…，…………233/144=1.618055…相关的数学问题1.排列组合　　有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?　　这就是

7、一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……　　1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。2.数列中相邻两项的前项比后项的极限　　当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？　　这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+√5)/2，这个就是黄金分割的数值，也是代表大自然的和谐的一个数字。　　3.求递推数列a(1)=1，a(n+1)=1+1/a(n)的通项公式　　由数学归纳法