第4章数值积分与数值微分课件.ppt

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1、第4章数值积分与数值微分4.1引言4.2牛顿—柯特斯公式4.3复化求积公式4.4龙贝格求积公式4.5高斯求积公式4.6数值微分本章基本内容进行计算，但在工程计算和科学研究中，经常会遇到被积函数f(x)的下列一些情况：的原函数对定积分的被积函数已知，在高等数学中可用牛顿—莱布尼兹公式4.1引言实际问题当中常常要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系.（4）f(x)本身没有解析表达式，其函数关系由表格或图形给出，列如为实验或测量数据.（2）f(x)的原函数不能用初等函数形式表示，例如（3）f(x)的原函数虽然可用初等函数形式表示，但其原函数表示形式相当复

2、杂，例如（1）f(x)复杂，求原函数困难，列如以上的4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题；另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的方法。由积分中值定理,对连续函数f(x),在区间[a,b]内至少存在一点，使只要对平均高度f()提供一种近似算法,便可相应地获得一种数值求积方法.即所谓矩形公式.4.1.1数值求积的基本思想几何图形见书p119.例如,用区间[a,b]两端点的函数值f(a)与f(b)的算术平均值作为f()的

3、近似值,可导出求积公式这便是人们所熟知的梯形公式.如果改用区间[a,b]的中点c=(a+b)/2处的函数值f(c)近似代替f(),则又可导出所谓(中)矩形公式一般地,在区间[a,b]上适当选取点xk(k=0,1,,n),然后用f(xk)的加权平均值作为f()的近似值,可得到更为一般的求积公式其中：点xk叫求积节点,系数Ak叫求积系数.Ak仅与节点xk的选取有关,而与被积函数f(x)无关.求积公式的截断误差为R(f)又称为求积余项.这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛-莱公式寻求原函数的困难.4.1.2代数精度的概念定义1如果求

4、积公式(1)对所有次数不超过m的多项式都精确成立；(2)至少对一个m+1次多项式不精确成立，则称该公式具有m次代数精度.数值求积方法的近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念.一般来说，代数精度越高，求积公式越好。定理1一个求积公式具有m次代数精度的充要条件是该求积公式:(1)对xk(k=0,1,…,m)精确成立；(2)对xm+1不精确成立.故一般地，要验证一个求积公式具有m次代数精度，只要令对于f(x)=1,x,,xm求积公式精确成立等式就行.解当f(x)=1时,此时公式精确成立。例1验证梯形公式具有一次代数精度。

5、当f(x)=x时，公式也精确成立。当f(x)=x2时，公式对x2不精确成立.故由定理1知,梯形公式的代数精度为1次.对于求积公式给定n+1个互异的求积节点x0,x1,,xn-1,xn,令求积公式对f(x)=1,x,,xn精确成立,即得求解该方程组即可确定求积系数Ak,所得到的求积公式至少具有n次代数精度.例2确定求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.解令f(x)=1,x,x2代入公式两端并令其相等，得解得得求积公式为令f(x)=x3，得令f(x)=x4，得故求积公式具有3次代数精度.如果我们事先选定求积节点xk，譬如，以区间[a,b]的等距分点

6、作为节点，这时取m=n求解方程组即可确定求积系数Ak，而使求积公式至少具有n次代数精度.本章第2节介绍这样一类求积公式，梯形公式是其中的一个特例.如为了构造出上面的求积公式，原则上是一个确定参数xk和Ak的代数问题.4.1.3插值型求积公式设给定一组节点且已知f(x)在这些节点上的函数值f(xk),则可求得f(x)的拉格朗日插值多项式(因为Ln(x)的原函数易求)其中lk(x)为插值基函数,取由上式确定系数的公式称为插值型求积公式。即则f(x)Ln(x)由插值余项定理,其求积余项为其中=(x)如果求积公式是插值型的，按照插值余项式子，对于次数不超过n的多项式f(x)，其余项R(

7、f)等于零，因而这时求积公式至少具有n次代数精度.反之，如果求积公式至少具有n次代数精度，则它必定是插值型的.事实上，这时求积公式对于插值基函数lk(x)应准确成立，即有注意到lk(xj)=δkj，上式右端实际上即等于Ak，因而下面式子成立.结论1具有n+1个节点的数值求积公式是插值型求积公式的充要条件为:该公式至少具有n次代数精度。综上所述，我们有结论为这时令f(x)=1代入又有结论为结论2对插值型求积公式的系数必有其中h=max(xi-xi-1)，则称