矩阵特征值的计算.ppt

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1、第8章　矩阵特征问题的计算南京中医药大学信息技术学院制作:张季引言工程技术中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械零件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题.第8章矩阵特征问题的计算8.1特征值与特征向量的基础知识8.2特征值求取8.3函数eig()计算特征值8.4舒尔分解和奇异值分解8.5矩阵指数计算8.6计算范数和矩阵谱半径的函数定义1设矩阵A,BRnn，若有可逆阵P，使则称A与B相似。定理1若矩阵A,BRnn且相似，则（1）A与B

2、的特征值完全相同；（2）若x是B的特征向量，则Px便为A的特征向量。8.1特征值与特征向量的基础知识定理2：设ARnn具有完全的特征向量系，即存在n个线性无关其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。的特征向量构成Rn的一组基底，则经相似变换可化A为对角阵，即有可逆阵P，使定理3：ARnn，1,…,n为A的特征值，则（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即（1）A的迹数等于特征值之和，即定理4设ARnn为对称矩阵，其特征值1≥2≥…≥n，则（1）对任意ARn，x≠

3、0，（2）（3）定理5（Gerschgorin圆盘定理）设ARnn，则表示以aii为中心，以半径为的复平面上的n个圆盘。（2）如果矩阵A的m个圆盘组成的并集S（连通的）与其余（1）A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，n–m个圆盘不连接，则S内恰包含m个A的特征值。关于计算矩阵A的特征值问题，当n＝2,3时，我们还可按行列式展开的办法求(λ)=0的根.但当n较大时，如果按展开行列式的办法，首先求出(λ)的系数，再求(λ)的根，工作量就非常大，用这种办法求矩阵的特征值是不切实际的，由此需要

4、研究求A的特征值及特征向量的数值解法.本章将介绍一些计算机上常用的两类方法，一类是幂法及反幂法（迭代法），另一类是正交相似变换的方法（变换法）.定理6设ARnn有完全特征向量系，若1,2,…,n为A的n个特征值且满足对任取初始向量x(0)Rn，对乘幂公式确定的迭代序列{xk}，有下述结论：8.2.2乘幂法（1）当时，对i=1,2,…,n收敛速度取决于的程度，r<<1收敛快，r1收敛慢，且x(k)（当k充分大时）为相应于1的特征向量的近似值。（2）当时a）若1=2，则主特征值1及

5、相应特征向量的求法同（1）；收敛速度取决于的程度。向量、c）若，则连续迭代两次，计算出x(k+1)，x(k+2)，分别为主特征值1、2相应的特征向量的近似值。然后对j=1,2,…,n解方程b）若1=-2，对i=1,2,…,n求出、后，由公式解出主特征值1、2。此时收敛速度取决于的程度。向量、分别为相应于1，2的特征向量的近似值。规范化乘幂法令max(x)表示向量x分量中绝对值最大者。即如果有某i0，使则max(x)=xi对任取初始向量x(0)，记则一般地，若已知x(k)，称公式定理7

6、设ARnn具有完全特征向量系，1,2,…,n为A的n个特征值，且满足则对任初始向量x(0)，由规范化的乘幂法公式确定的向量序列(1)（2）y(k)为相应于主特征值1的特征向量近似值y(k)，x(k)满足5.2.2原点位移法希望

7、2/1

8、越小越好。不妨设1>2…n，且

9、2

10、>

11、n

12、。取0（常数），用矩阵B=A-0I来代替A进行乘幂迭代。(i=1,2,…,n)设i(i=1,2,…,n)为矩阵B的特征值，则B与A特征值之间应有关系式：关于矩阵B的乘幂公式为为加快收敛速度

13、，适当选择参数0，使达到最小值。当i(i=1,2,…,n)为实数，且1>2≥…≥n时，取则为(0)的极小值点。这时若A有

14、1

15、

16、2

17、…>

18、n

19、，则A1有11111lll…>-nnA1的主特征根A的绝对值最小的特征根如何计算解线性方程组对应同样一组特征向量。设ARnn可逆，则无零特征值，由有8.2.3反幂法规范化反幂法公式为如果考虑到利用原点移位加速的反幂法，则记B=A-0I，对任取初始向量x(0)Rn，斯密特（Schmidt）正交化过程：设1，2，3为R

20、3上的三个线性无关的向量，令，则1为单位长度的向量，再令可以验证（1,2）=0，即1与2正交。若令则8.2.4QR方法基础即与1,2正交，将其单位化为于是向量组1,2,3构成R3上一组标准正交基，且其中Q=[1,2,3]为正交矩阵，R是上三角阵。对n维向量空间，设1,…,n为Rn上n个线性无关的向量，类似有…………即Q为正交阵，R为上三角阵将n个线性无关向量变换为n个两两正交向量的方法称为斯密特正交化方法。斯密特正交化过程将可逆阵A分解为