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1、2019考研数学线性代数一二次型（三）来源：文都教育二次型化为标准型的方法主要有两个方法：正交变换法、配方法.上次我们主要介绍了正交变换法，下面我们将介绍另一种方法-配方法，配方法虽然并非大题常用考法，但是对于某些题目却又奇效.为介绍配方法，以题为例.一、配方法化标准型（1）有平方项例1.(2018-改)设实二次型f(x1,x2,x3)=(x1_x2∙x3)2(x2x3)2(x12x3)2,其中a是参数，求f（χ,X2,X3）的规范形解：fx1,X2,X3=2x12•2x2■6x3-2x1x26x1X3法一：1）合并所有含X1
2、的项，并配方:222222fx1,X2,X3二2X1-2x1X26X1X32X26X3二2(X1-X]X23xlX3X23X3)MX2+3丫+32I%4x2=2Yx1鼻+3LI22驾s'-3X2X343223233X3X2342-X3）2I2）再合并所有含X2的项，并配方：fX1,X2,X3=2Xl、21X2+31*3f召一+—X3I+—(X2F)I22J43X322^2,可得f=2y^-y2.(标准型)λh=×3'2-13',222T法二：f(χι,x2,X3)=2xι+2x2+6X3—2X1X2+6X1X3=X—120X
3、,<306丿'2-13、λ-21-3记B=-120,令人E—B=1λ-20=菇⑺―5丫_7]=0<306丿-30人—6可得：’1=O,'2=5-...7,■3=5冷,*:：7,则标准型为f=5-∙√7z12-1^■：7Zl；规范形为f=z12■z2.(2)没有平方项例2.化二次型f=2凶X2∙2x1x3-6x2x3为标准型.分析：没有平方项，先构造平方项岀来，然后再按例1方法计算即可.解：(1)构造平方项M=%∙y2令X2=y1-y2，带入可得：f=2y/-2y2^4y1y3■8y2y3x3二y3(2)按照有平方项的进行处理2
4、2ɪ221)f=2y14y1y3-2y28y2y3=2y12y1y3-y24y2y3=2曲_y3j-y22-『32+4y2y3]=2[(y1-y3)-(Y2-2y3j+3y32IZ1=>7,2(%-y3)2)令=jz2=J2(y1-2y3),得二次型的规范形为f=Z2-z；+z32.$=咼3二、配方法的妙用例1给我们展示了二次型化为标准型的两种方法，但是我们应该注意到，使用不同方法得到的标准型是不一样的：配方法和正交变换法可得标准型分别为：f=2y12■3y2Jf=5-「7Z12■57忆.2虽然标准型不唯一，但是标准型中正负项
5、的个数是相同的，这个也被称为惯性定理.其中正向的个数是正惯性指数，负项的个数为负惯性指数.所以我们求惯性指数也有两种方法，而有些时候配方法较为简单.例3.(2014)设二次型f(x1,x2,x3)=X12-X；2aχx34x2x3的负惯性指数为1,则a的取值范围是.解：配方法可得：f(x1,x2,x3)=(x1■ax3)2-(x2-2x3)2■(4-a2)x32,因为负惯性指数是1,故4_a2_0,解得1-2,21由上可知，对于本题用配方法可以迅速解岀答案，而如果用正交变换法先求岀特征值,然后再根据特征值符号来进行判定就没有那
6、么容易。；10al九一1—a因A=O-12,通过人E-A=λ+1-2是不易求岀特征值的Ia20_-a-2λ二次型化标准型是考研常考点，正交变换法和配方法都需要认真掌握.下次我们会讲解正定二次型以及正定二次型与高数的连接，在此希望能对2019考生的复习有所帮助.最后，预祝各位考生考研成功！
