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《考研数学线性代数强化习题-二次型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考主准备了【线性代数-二次型知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、Vipl对1等课程,针对每一个科冃要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。模块十二次型I经典习题一.二次型及其矩阵1、二次型勺，兀）=（。內+勺兀2+他心）©舛+%兀2+2忑）的矩阵为2、已知二次型/（召,勺，兀3）=（】_。）才+（1-4-2^3+2（14-a）x{x2秩为贝咕=二.二次型的合同标准型3^二次型/（兀［，
2、兀2，兀3）=彳+5卅+£-4兀內+2兀2兀3的合同标准型可以是（）（A））彳+4丈（B）并―6y；+2元（C）刃2一分（D）*+4丈+处4、已知二次曲面F+h+z2+2M+2byz+2xz=l经正交变换^y^z）T=Q（xyz'）T化成椭圆柱面方程（yF+2（z）2=1,则Q和b应满足的条件是.5、用正交线性变换二次型/=兀一2疋-2卅-4西兀2+4兀丿3+8吃兀3为标准形，并给出所施行的正交变换.6、设二次型/（兀1，兀2，兀3）=尤1+兀2+兀3_2兀1兀2一2兀］兀3+2。兀2%3,通过正交变换化为标准型/=2）彳+2丈+0）.求常数4
3、,0及所用正交变换矩阵Q,若*兀=3,求/的最大7.已知二次型f(x[,x2,x3)=4x;-3xj+4x{x2一4坷兀3+Sx2x3*(1)写出二次型/的矩阵表达式;(2)用正交变换把二次型/化为标准型，并写出相应的正交矩阵.8、/(x,j)=x24-4xy+y2X=pu_y_V求正交变换P,，使得f(x,y)=2u2+2a/3uv.9、已知二次型/(x),x2,x3)=5x)2+5x；+cxf-2XjX2+6%)%3-6x2x3的秩为2.(1)求参数Q的值及此二次型对应矩阵的特征值；⑵(*数学一)指出方程/(西，兀2，禺)=1表示何种二次曲面.
4、10＞设二次型/(兀］，兀2，无3)=3彳+3兀;+5球+4兀1兀3_4兀2兀3'/⑵求正交矩阵P,作变化*2=P>2<>3>(1)写出二次型的矩阵表达式;化二次型为标准型;⑶对一般的〃元实二次型f=X，AXf其中天=(州，兀2,…,©y，试证：/在条件兀+€+・••+尤=1下的最大值恰为矩阵A的最大特征值.11、已知三元二次型经正交变换为2昇-元-貝，又知矩阵〃满足矩阵方程-1BA''=2AB+4Ers,且Aa=a,其中"二［1，1，T］‘A为A的伴随矩阵，求此二次型X「BX的表达式.一.二次型的合同的条件12、设A,B均为斤阶实对称矩阵，若A
5、与B合同，则()(A)A与3有相同的秩(B)A与3有相同的待征值(C)A与B有相同的特征向量(D)4与3有相同的行列式13、n阶实对称矩阵A合同于矩阵B的充要条件是(C)A、B均为正定矩阵(D)心)=心)，且A、B的负惯性指数相等14、设方阵£与d合同,证明&丿合同一.合同规范型与惯性指数15、二次型/*(兀],兀2,兀3)=(兀1+兀2尸+(2兀1+3x2+x3)2-5(x2+x3)2的规范型为corra=ro(A)灯+力+4儿「(B)灯一儿(C)必一力一儿(D)〉'】一灯+儿16、二次型/(Xj,x2,x3)=x(2+4x22+4x32-4%j
6、X2+4x,x3-8x2x3的规范型为()(A)/=z,2+z22+z32(B)/=z)2-z22(C)八器+Z2—J(D)I17、设二次型为f(x],x2,--,xn)=xTAx,其中A1=A,x=(xpx2,---,xzf)7,WiJ/为正定二次型的充要条件为()(A)/的负惯性指数为0(B)存在正交矩阵Q,使QrAQ=E(C)/的秩为(D)存在可逆矩阵CM=CTC厂010、18、实对阵矩阵A与矩阵B=100合同，则二次型xtAx的规范形为,002丿■19、已知正、负惯性指数均为1的二次型*加通过合同变换x=py化为fBy,其中'11-a、B=
7、1ci一1,贝＞Ja=・LjK20、二次型=(西+2毛+。3无)(兀
8、+5x24-b3x3)的合同规范型为一.正定二次型的判定与证明21、已知实二次型f=(a11x1+al2x2+aI3x3)2+(a2ix{+a22x2+«23x3)2+(«31^+a32x2+如花）2正定，矩阵心（旬）3灯，则（）（A）A是正定矩阵（B）A是可逆矩阵（C）A是不可逆矩阵（D）以上结论都不对22、设A、B均为几阶正定矩阵，下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是（）（A）A'1+（b）AB（C）A*+B*（d）2A+3B23、设==若B=是正定矩阵，则k的取值范围是厂211
9、、A=12124、已知U12丿，证明A正定，并求正定矩阵5使4=25、设人为兀阶正定矩阵，则存在正定矩阵丹，使得A=H（
