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《考研数学线性代数强化资料-二次型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考主准备了【线性代数-二次型知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、Vipl对1等课程,针对每一个科冃要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。模块十二次型I教学规划【教学目标】1、系统梳理二次型的概念及其基本考点2、掌握二次型的标准型及规范型的概念及构造方法3、掌握正负惯性指数的概念与性质4、掌握正定二次型和正定矩阵的概念与判定【主要内容】1、二
2、次型的定义及其矩阵形式2、二次型的合同变换3、二次型标准型的定义及构造方法5、二次型合同规范性的定义及构造方法6、正负惯性指数的定义及其性质7、矩阵合同的充要条件8、正定二次型与正定矩阵的定义及其判定方法【重难点】1、利用正交矩阵实现二次型的标准化2、惯性指数与惯性定理3、正定二次型的判定II知识点回顾一.二次型及其合同标准型1.二次型及其矩阵含有〃个变量西，勺，…心二次齐次多项式/（兀］,兀2，・・・，兀）=工工勺込"（其中/=!j=l勺・=勺丁）称为”元二次型，所有系数均为实数的二次型称为实二次型•如
3、无特殊说明，以下考虑的均为实二次型.矩阵A…a…a2n称为该二次型的矩阵.如果令,结合矩阵的乘法，我们就可以把二次型写成矩阵形式:其屮.我们把矩阵A的秩也称为该二次型的秩.2.二次型的合同・,儿），则该变1）非退化的线性变换兀严卬刃+卬儿+•••+",儿C]]Cl2…C"如果令＜x2=c21yl+w2+...+c2„y„，并且其i
4、(
5、c
6、=°21C22…C2nCnCn2…CnnH0,则称该变量代换为非退化的线性变换.如果令兀=（心兀2,…,E），）=（）），"换也可以简记为x=Cy.2）二次型的合
7、同设有/7元二次型f=xrAx和g=如果存在非退化的线性变换x=Cy,将二次型/•变成g,则称这两个二次型合同，记作fDg.3）矩阵的合同设有n阶实对称矩阵4和B,如果存在可逆矩阵C使得C7AC=B,则称矩阵A和B合同，记作A口B.1.二次型的合同标准型如果二次型XZw；中，只含有平方项，所有混合项郴心门的系数全为零，/=17=1也即形如（1^+仏兀；+・・•+〃/；，则称该二次型为标准型.如果二次型f=XTAx合同于标准型％彳+血卅+•••+〃/；，则称d］彳+〃2兀；+•・・+£•€为二次型f=X1A
8、x的合同标准型.惯性指数与合同规范型1.惯性指数实二次型f=xTAx的合同标准型％彳+心球+…中正项的个数称之为二次型f=xTAx的正惯性指数；相应地，其屮负项的个数称Z为二次型f=xtAx的负惯性指数2.二次型的合同规范型如果某一标准型中平方项的系数仅为1,-1或0,也即形如彳+・・・+•¥；一兀;+1-…—兀爲，则称该二次型为规范型.如果二次型f=xTAx合同于规范型彳+・・•+环一£+1—兀爲，则称彳+...+X；-兀;+i-…—兀爲为二次型f=xTAx的合同规范型.1.惯性定理定理2（惯性定理）：
9、对于一个实二次型，不管通过怎样的坐标变换将它化为标准型，它的正惯性指数和负惯性指数都是不变的.定理3：两个n元二次型合同的充要条件是它们的正惯性指数和负惯性指数均相同.三.正定二次型1.定义对于〃元实二次型疋心，力为实对称矩阵，如果对任意的〃维非零列向量Q都有”丁人。〉0,则称该二次型为正定二次型，相应地，称矩阵A为正定矩阵.2.充要条件定理4：设A为实对称矩阵，/?元实二次型f（xi,x2,...,xll）=xTAjc正定<=>对任意非零的n维列向量x,xTAx>0；oA的正惯性指数为处oA的特征值全大
10、于零；oA合同规范型为E；o存在可逆矩阵P使得A=PTP^oA的所有顺序主子式全大于零.III考点精讲二次型及其矩阵【例1］二次型/（XPX2,X3）=（%!+x2）2+（X2-X3）2+（兀3+Xj）2的秩为【答案】：2【例2】己知二次型/（西兀2兀3）=5彳+5卅+0球一2兀“2+6兀內一6兀2兀3的秩为2，贝惨数€=【答案】：3【例3】下列关于二次型及其矩阵的说法中正确的有（）①假设二次型/=x7Ar,则二次型的矩阵为A；②假设二次型f=xtAx，则二次型的秩r（/）=r（/l）；③对二次型f=xt
11、Ax与g=yTBy,如果存在非退化的线性变换x=Cy使得B=CTAC,则这两个二次型合同.（A）O个（B）l个【答案IB二.二次型的合同标准型（C）2个(D)3个【例4】设二次型/（坷,兀2，兀3）=（兀1一兀2）+（兀1一兀3）~+（兀3-兀2）~1）求二次型f的秩；2）求正交变换Q,把二次型f化为标准形.【答案1：(1)2;(2)23V-3+22y3【例5］二次型/（Xj,x2,）=2x；4-3x；+3x；+2ax2x3,
