2019考研数学线性代数二次型

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1、世纪文都教育科技集团股份有限公司2019考研数学线性代数—二次型（二）来源：文都教育上次我们讲了二次型的背景知识和概念以及矩阵表示的必要，而二次型化为标准型的方法主要有两个方法：正交变换法、配方法.尤其是正交变换法将二次型化为标准型也是我们考试的重点.我们将分两次来详述这两种方法，这次主要介绍正交变换法.一、可逆的线性变换正如上次我们对二次曲线的一般方程做变换，将其化成.地址：北京市海淀区西三环北路72号世纪经贸大厦B座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：www.we

2、ndu.com世纪文都教育科技集团股份有限公司而对于更一般的二次型，寻求可逆（）的线性变换（即）即：   上面例子只有两个变量，推广到多元就是二次型.而这个将“歪”“掰正”的过程就是将二次型化为标准型（全是平方项）的过程.二、正交变换化为标准型地址：北京市海淀区西三环北路72号世纪经贸大厦B座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：www.wendu.com世纪文都教育科技集团股份有限公司上次我们讲过二次型与实对称矩阵一一对应，二次型化成标准型等同于找到一个可逆矩阵，使得

3、，即问题就化成了实对称矩阵的对角化问题.实对称矩阵有一个很重要性质：对于任意对称矩阵，总有正交矩阵使得.定理：对于二次型总存在，使得化为标准型其中是的矩阵的特征值，而即为正交矩阵.例1.（2007）设二次型，求在正交变换下的标准型，及一个正交矩阵.解：（1）二次型矩阵为，，解得；（2）当时，，化简得，对应的特征向量为；当时，，化简得地址：北京市海淀区西三环北路72号世纪经贸大厦B座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：www.wendu.com世纪文都教育科技集团股份有

4、限公司，对应的特征向量为；当时，，化简得，对应的特征向量为；从而正交矩阵.正交变换法化二次型为标准型是考研数学大题中最常考的知识点之一，下次我们将就配方法进行详细介绍，在此希望能对2019考生的复习有所帮助.最后，预祝各位考生考研成功！地址：北京市海淀区西三环北路72号世纪经贸大厦B座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：www.wendu.com