微分方程练习题基础篇答案.pdf

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1、.常微分方程基础练习题答案求下列方程的通解2xdydyxdx21.xy分离变量，yCe，C为任意常数dxy2dyx1x22.xydx1xdy0分离变量dx，yCe，C任意常数yx21dy1x3.xyylny0分离变量dx，yCeylnyx22ydyxdx224.(xyx)dx(xyy)dy0分离变量22，(1y)(1x)C1y1xdy2dudydu1u5.(2xy5)令u2xy5则2，2dx，arctanxC1dxdxdxu222y12dyxydyxydydu1u16.，原方程变为，令u，ux，代入得2dudxdxxydxyxdxdx1ux1xyyy2arctanuu

2、lnxCu回代得通解2arctanlnxC，xxx222dyyyydudx7.xyyxy0方程变形为10，令u，代入得2dxxxx1uxyyyarctanulnxCu回代得通解arctanlnxC，xxxdyydyyyydudxCx1Cx18.xyln，方程变形为ln，令u，，ue，yxedxxdxxxxu(lnu1)xdy2xdx2xdxx29.2xy4x，一阶线性公式法ye(4xedxC)Ce2dx11dyy2dx2dx3xx10.2x,一阶线性公式法ye(2xedxC)xCxdxx2222x4x14311.(x1)y2xy4x，方程变形为y2y2一阶线性公式法y

3、2(xC)x1x11x3'..2dydx3112312.(y6x)2y0，方程变形为xy一阶线性公式法yyCydxdyy2221dy11dz2dy13.y3xyxy，方程变形为23xx伯努利方程，令zy,y代入方程ydxydxdx得32dz1x123xzx一阶线性公式法再将z回代得Cedxy3dy1141dy11114.y(12x)y，方程变形为(12x)伯努利方程，令43dx33ydx3y33dz4dydzzy,3y代入方程得z2x1，一阶线性公式法再将z回代得dxdxdx1xCe2x13y215.y5y6y0，特征方程为r5r60，特征根为r12,r23，通解2x

4、3xyC1eC2e2316.16y24y9y0，特征方程为16r24r90，特征根为r1,2，通解43x4y(C1C2x)e2x17.yy0，特征方程为rr0，特征根为r10,r21，通解yC1C2e218.y4y5y0，特征方程为r4r50，特征根为r12i,r22i，通解2xye(C1cosxC2sinx)3322xx19.(xy)dxxdy0，全微分方程xdx(ydxxdy)0，dd(xy)0，通解xyC334233xy20.(xy)dx(xy)dy0，全微分方程xdx(ydxxdy)ydy0，dd(xy)d0，4242xy通解xyC42'..222221.(x

5、y)dx(2xyy)dy0全微分方程xdx(ydx2xydy)ydy0，3232x2yx2ydd(xy)d0，通解xyC323222.(xcosycosx)yysinxsiny0，全微分方程(xcosydysinydx)(cosxdyysinxdx)0，d(xsiny)d(ycosx)0，通解xsinyycosxC2222123.(3xy)dx(2xyx)dyC，3xdx2xydyydxxdy0，积分因子2，方程变xydxxdy2y2y为3dx2ydy20，d3xdyd0，通解3xyCxxx221xdxydy24.xdxydy(xy)dx，积分因子22，方程变为22d

6、x0，xyxy122122d[ln(xy)]dx0通解ln(xy)xC222222125.(xyy)dxxdy0，(xy)dxydxxdy0，积分因子22，方程变为xyydxxdyxxdx220，dxdarctan0，通解xarctanCxyyy3x(n)13x26.yesinx，可降阶yf(x)型，逐次积分得通解yesinxC1xC292227.y1y，可降阶令p(x)y，原方程化为p1p可分离变量型，得yptan(xC1)，积分得通解ylncos(xC1)C228.yyx，可降阶yf(x,y)型，令p(x)y，原方程化为ppx，一阶线性非齐次xx12公式法得ypC

7、1ex1，积分得通解yC1exxC22'..3dpdp329.yyy，可降阶yf(y,y)型，令p(y)y,yp，原方程化为pppdydydp2dp2即p[(1p)]0，p0是方程的一个解，由(1p)0得dydyxCarctanpyC即yptan(yC)，通解为yarcsine2C111xx230.y2yy4xe，二阶常系数非齐次f(x)ePm(x)型，1是特征方程210的x*2x重根，对应齐次方程的通解为Y(C1C2x)e，设特解为yx(axb)e，代入xx2*23x方程得(6ax2b)e4xe，得a,b0，故原方程的特解为yxe，原方33x23x