微分方程练习题基础篇答案.docx

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1、.常微分方程基础练习题答案求下列方程的通解dydyx2xy分离变量Ce2，C为任意常数1.xdx，ydxy2.xydx1x2dy0dyxdx，yCe1x2，C任意常数分离变量1x2y3.xyylnydy1dx，yCex0分离变量xylny4.(xy2x)dx2yydyxdx，(1y2)(12)C(xy)dy0分离变量y22x11x5.dy(2xy5)2令u2xy5则du2dydxdxdx，du2dx，1arctanuxC1u2226.dyxydy1yy，dyxdu，代入得1u21x，令uududx，原方程变为dxxydx1yxdxdx1

2、u2xxyyy2arctanuulnxC，ux回代得通解2arctanxlnxxC方程变形为dyyy2y，代入得dudx7.xyyx2y2010，令udxxxx1u2xlnxC，uyyyarctanux回代得通解arctanxlnxxC8.xdyylny，方程变形为dyylny，令uy，dudx，ueCx1，yxeCx1u(lnu1)xdxxdxxxx9.dy2xy4x，一阶线性公式法y2xdx4xe2xdxC)Cex22e(dxdx10.dyy2x2,一阶线性公式法y12x2e1dxC)x3Cxex(xdxdxdxx11.(x21)y2

3、xy4x22x4x2一阶线性公式法y1(4x3C)，方程变形为yx2yx21x2311'..12.(y26x)dy2y0，方程变形为dx3x1y一阶线性公式法y1y2Cy3dxdyy2213.y3xyxy2，方程变形为1dy3x1x伯努利方程，令zy1,dzy2dy代入方程y2dxydxdx得dz3xzx一阶线性公式法再将z回代得13x2Ce2dxy1314.dy1y1(12x)y4，方程变形为1dy111(12x)伯努利方程，令dx33y4dx3y33zy3,dz3y4dy代入方程得dzz2x1，一阶线性公式法再将z回代得dxdxdx

4、1Cex2x1y315.y5y6y0，特征方程为r25r60，特征根为r12,r23，通解yCe2xCe3x1216.16y24y9y0，特征方程为16r224r90，特征根为r1,23，通解43xy(C1C2x)e417.yy0，特征方程为r2r0，特征根为r10,r21，通解yC1C2ex18.y4y5y0，特征方程为r24r50，特征根为r12i,r22i，通解ye2x(C1cosxC2sinx)19.(x2y)dxxdy0，全微分方程x2dx(ydxxdy)0，dx3d(xy)0，通解x3xyC3320.(x3y)dx(xy)dy

5、0，全微分方程x3dx(ydxxdy)ydy0，dx4d(xy)dy20，42通解x4xyy2C42'..21.(x2y2)dx(2xyy)dy0全微分方程x2dx(y2dx2xydy)ydy0，dx3d(xy2)dy20，通解x3xy2y2C323222.(xcosycosx)yysinxsiny0，全微分方程(xcosydysinydx)(cosxdyysinxdx)0，d(xsiny)d(ycosx)0，通解xsinyycosxC23.(3x2y)dx(2x2yx)dy22x2ydyydxxdy0，积分因子1，方程变C，3xdxx2

6、为3dx2ydyydxxdy0，d3xdy2dy0，通解3xy2yCx2xx24.xdxydy(x2y2)dx，积分因子1，方程变为xdxydydx0，x2y2x2y2d[1ln(x2y2)]dx0通解1ln(x2y2)xC2225.(x2y2y)dxxdy0，(x2y2)dxydxxdy0，积分因子x21y2，方程变为dxydxxdy0，dxdarctanx0，通解xarctanxCx2y2yy26.ye3xsinx，可降阶y(n)f(x)型，逐次积分得通解y1e3xsinxC1xC2927.y1y2，可降阶令p(x)y，原方程化为p1

7、p2可分离变量型，得yptan(xC1)，积分得通解ylncos(xC1)C228.yyx，可降阶yf(x,y)型，令p(x)y，原方程化为ppx，一阶线性非齐次公式法得ypCexx1，积分得通解yC1ex1x2xC212'.29.y30.y31.y32.y33.y.y3y，可降阶yf(y,y)型，令p(y)y,ypdp，原方程化为pdpp3pdydy即p[dp(1p2)]0，p0是方程的一个解，由dp(1p2)0得dydyarctanpyC1即yptan(yC1)，通解为yxC2C1arcsine2yxf(x)exPm(x)型，1是特

8、征方程2210的y4xe，二阶常系数非齐次重根，对应齐次方程的通解为Y(C1C2x)ex，设特解为y*x2(axb)ex，代入方程得(6ax2)x4xa2,b0，故原方程的特解为y*2x3ex