面积法解决的几何证明与计算.doc

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1、初三复习教案模块几何证明与计算模块第五讲面积法解决的几何证明与计算问题教学内容概要：用面积法解几何问题是一种重要的数学方法，在初中数学中有着广泛的应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效，是初中阶段必须掌握的数学方法。教学目标：1、熟练与面积有关的公式和性质、定理。2、灵活运用面积法解答几何证明题及几何计算问题。3、引导学生一题多解。4、掌握线段比、面积比的灵活转化。5、灵活添加辅助线。重难点：1、面积法的应用。2、面积、比例的转化。3、添加辅助线。4、知识综合应用。知识要点1、常用面积公式（1）矩形面积S=长´

2、宽（2）三角形面积S=´底´高（3）平行四边形面积S=底´高（4）梯形面积=´(上底+下底)´高2、与面积相关定理、性质、理论依据（1）等（同）底等高的两个三角形面积相等；（2）等底（或等高）的两三角形面积之比等于其高（或底）之比；（3）全等三角形的面积相等；（4）相似三角形的面积比等于相似比的平方；（5）三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半；（6）三角形中位线截得的三角形是原三角形面积的；8（7）三角形三边中点连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的.3、面积问题常用的证题思路和方法（1）分解法：通常把一个复杂的图

3、形，分解成几个三角形；（2）作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形；（3）利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质；（4）采用等面积法来转化信息。例题经典例1：如图，AD是的斜边BC上的高，且，AB＝45，求AD。解：由勾股定理得：【点评】本题利用面积相等的方法构造等量关系式，快捷便利，比利用勾股定理及相似构造等量关系高效。直角三角形、等腰三角形求高问题经常采用面积法来解决。例2：如图，AD是的角平分线，求证：.证明：过点D作于E，于F，过点A作于HAD平分BAC，则有8【点评】本题利用同（等）高三角形的面积比等于

4、底边之比的性质来灵活证明比例式。可采用其它多种辅助线方法解答，参考“与比例线段有关的几何证明”部分例题。例3：已知：在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点。证明：过M作MN//AB∵M为腰BC的中点∴MN是梯形的中位线设梯形的高为h【点评】本题灵活构造中位线，从而巧妙转化三角形的面积的表示方法，这种用其他方法来表示固定图形面积的方法较为灵活，多依据题意和要求解答信息来灵活变化。另：该题也可以延长DM交直线AB于点E类似方法可证。例4：已知△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BH⊥AC

5、，求证：PE+PF＝BH证明：连结AP，则∵AB＝AC，PE⊥AB，PF⊥AC又∵BH⊥AC8∴PE+PF＝BH【点评】根据已知信息，有三条高，联结AP，轻松利用等面积法得证。根据需要求证的结论，常用截长补短法证明，但此处用面积法更快捷，证明过程更简单。例5：在△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且，CD和BE交于G，求△ABC和四边形ADGE的面积比。证明：作DF//AC交BE于F可得△DFG≌△CEG而∴△ABC和四边形ADGE的面积比是12：5【点评】本题主要通过添加平行线，结合已知比值信息灵活转化面积。是解答面积比、

6、相似问题、线段比值的较好方法。例6：在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=8，（1）求；（2）若BD是腰上的高，求BD；（3）求解：（1）过A点作AE垂直于BC，垂足为E。AB=AC=5，BC=8∴BE=EC=4，AE=3∴（2）即（3）方法一：∴8方法二：∴【点评】该题以面积法为基础求得等腰三角形另一边上的高，从而为后面求锐角三角比值奠定基础。请看：变式：在△ABC中，AB=AC=5，且△ABC的面积为12，求△ABC外接圆的半径。解：取AC中点F。分别作。如图（1），，则，勾股定理得，则，.如图（2），易知OA即为外接圆的

7、半径。，即，得，即得注：该题中的面积法可以用其他方法替代，但面积法不失为一种有效的数学方法。8课堂练习1、设AD、BE和CF是△ABC的三条高，求证：AD·BC＝BE·AC＝CF·AB证明：∵AD、BE、CF是△ABC的三条高2、已知在ΔABC中，，ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ．ＡＢ＝８，ＡＣ＝１５．求ＡＤ的长．答案：（方法同例1）3、在平行四边形ABCD中，E、F点分别为BC、CD的中点，连结AF、AE，求证：S△ABE＝S△ADF证明：连结AC，则又∵E、F分别为BC、CD的中点4、过平行四边形ABCD的顶点A引直线，和BC、DC或其延长

8、线分别交于E、F，求证：S△ABF＝S△ADE证明：连结AC∵CF//AB又∵CE//AD8课后作业1、如图，在中，，是上一点，，是上任一点，于，于。求证：2、如图，、相交于点，且。求证：。3、Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a、b为两直角边，斜边AB上的高为