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时间:2020-04-21
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1、第二章一元函数微分学[目的要求]导数与微分是高等数学的基本内容,也是许多学科研究的理论基础,它不仅用于研究函数的各种性态以及函数值的计算,亦是解决实际问题普遍利用的有效工具,因此要求:1.理解导数概念、了解微分概念.2.掌握求导数的运算法则,会求一些函数的导数与微分。3.理解微分中值定理,知道其几何解释.掌握用一阶和二阶导数证明的方法。4.会利用这些概念、性质、基本理论讨论函数的特性、会求不定式极限、极值。[知识要点与重点内容例题分析选讲]知识要点与重点1:导数的概念及其计算1.导数的概念:从平均变化率到瞬时变化率。2.导数的几何意义导数也为函数关系的“数”与“形”的转换搭建了桥梁,是
2、函数曲线的切线斜率。3.当函数以空间变量为自变量时,如以长度、体积等为自变量,则关于空间变量的导数称为梯度(gradient),是函数变量在空间分布的集中或稀疏程度的变化率,如化学气体浓度梯度、电磁信号强弱梯度、人口密度梯度。4.导数与连续性的联系如果函数在处可导,则必在处连续,但反之未必。5复合函数求导法则对于复合函数,若以外层函数皆是可导函数时,。复合函数求导是这一节中重中之重,难中之难。但是,复合函数的求导又是有章可循的:(1)尽可能细致的分解复合函数的变量传递关系,注意哪些环节是符合运算,那些环节是四则运算;如有需要,逐个引入中间变量;(2)对于复合运算,只需依照符合顺序展开求
3、导运算(类似串联电路),从外层函数做到内层函数,认真区分每一步应该用哪一种基本初等函数的求导公式;6.隐函数的求导函数表示两个变量和之间的对应关系,其特点是:等号左端是因变量,而右端是含有自变量的表达式。用这种方式表示的函数叫做显函数。在二元方程中,当取区间I内的任一值时,相应的总有满足该方程的唯一的值存在,那么方程在区间I内确定了一个函数。典型例题:1.求的导数。解两边对求导,注意到是的函数,例设函数为偶函数且存在,试证证当,则有为偶函数,从而存在,必有,所以,即证=0%证明不等式证:设,则区间上,根据拉格朗日中值定理,在内至少存在一点使即又因为所以所以知识要点与重点2:导数的应用1
4、.函数单调性的判别方法:定理1设在上连续,在内可导,则在上单调增(或减)的充要条件是(或)2.函数的极值的判定:定理2(第一充分条件判定定理)设函数在的临域内连续,在内可导,是临界点。(1)若从的左临域渐增地通过到的右临域取值时,的符号由正变负,则在点取得最大值,点为极大值点。(2)若从的左临域渐增地通过到的右临域取值时,的符号由负变正,则在点取得最小值,点为极小值点。(3)若从的左临域渐增地通过到的右临域取值时,不变号,则在点不取得极值,点不是极值点。3.定理3(第二充分条件判定法)设在点处具有二阶导数且=0,那么(1)当<0时,在点取得极大值。(2)当>0时,在点取得极小值。4.函
5、数的凹凸性的判断法:定理1设函数在内具有二阶导数,则在该区间内(1)当>0时,曲线是凹的;(2)当<0时,曲线是凸的。5..拐点的判定法:定理4设函数在的某临域内连续,在及内具有二阶导数,且=0或不存在。(1)若在的两侧具有相反的符号,则点是曲线的拐点。(2)若在的两侧保持同一符号,则点不是曲线的拐点。典型例题:1.设f(x)在x0处具有二阶导数,且=0,并>0,证明f(x0)是f(x)的极小值证:由于>0,=0,由二阶导数的定义,有>0,于是存在x0的一个邻域内,成立下式>0,x≠x0当由左及右经过x0时,f’(x)由负变正。由定理8,f(x)在x0取得极小值。2.试问a、b为何值时
6、,点P(1,3)为曲线的拐点?解:解之得a=-3/2,b=9/23.证明曲线有位于同一直线上的三个拐点?解:可验证(-1,-1),(是曲线的三个拐点下面论证此三点位于同一直线上,事实上,只需证明过任意两点的直线的斜率相同即可故k1=k2,得证4.肌注或血药服药物后,血药浓度随时间变化的曲线为,试求出出现浓度最大和最小浓度变化率的时刻?解:(1)=122(-0.18e-0.18t+e-t)令=0,解得唯一驻点t1=(-ln0.18)/0.82此驻点即为最值点,故在t1=(-ln0.18)/0.82时刻血药浓度最大(2)=122(0.182e-0.18t-e-t)令=0解得唯一驻点t2=(
7、-ln0.18)/0.41此驻点即为函数的最值点。故在t2=(-ln0.18)/0.41时刻血药浓度变化率最小5.讨论下列函数的凹凸性和拐点(1)(2)解:(1)列表讨论如下x-(-,)(,+-+y凹拐点凸拐点凹(-,3/4)与(,3/4)均为拐点(2))
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