《高等数学》教学课件：第1章_函数的极限.ppt

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1、第三节函数的极限一、函数极限的定义二、函数极限的性质一、自变量趋于有限值时函数的极限如果当x无限地接近于x0时函数f(x)的值无限地接近于常数A则常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限记作1.函数极限的定义分析:当xx0时f(x)A当

2、x-x0

3、0时

4、f(x)-A

5、0当

6、x-x0

7、小于某一正数d后

8、f(x)-A

9、能小于给定的正数e任给e0存在d0使当

10、x-x0

11、d时有

12、f(x)-A

13、e0limxx®f(x)=A或f(x)®A(当x®0x).定义1.设函数

14、在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数A为函数当时的极限,或即当时,有若记作几何解释:极限存在函数局部有界这表明:注1）语言表述2）表示时有3)e任意给定后，才能找到d，d依赖于e，一般的e越小，d越小.4)d不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.当时,有无极限与有无定义没有关系.例1证明(C为常数)证当时,成立,例2证明证取当时,成立,例3.证明证:欲使取则当时,必有因此只要例4.证明证:故取当时,必有因此2.单侧极限当自变量x从x0的左(或右)侧趋于x0时，函数f(x)有极限A，则称A为函数f(

15、x)当x→x0时的左(右)极限，记作或思考题:写出左右极限的精确定义3.单侧极限和极限的关系函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限与右极限均存在且相等，即例5.设函数讨论时的极限是否存在.解:因为显然所以不存在.4.极限的性质定理1(函数极限的唯一性)定理2(函数极限的局部有界性)如果f(x)A(xx0)那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界定理3(函数极限的局部保号性)如果f(x)A(xx0)而且A0(或A0)那么在x0的某一去心邻域内有f(x)0(或f(x)0

16、)如果当xx0时f(x)的极限存在,那么这极限是唯一的定理4(函数极限与数列极限的关系)如果当xx0时f(x)的极限存在{xn}是任一收敛于x0的数列则函数值数列{f(xn)}必收敛且证因为所以取则当时,有记则定理2获得证明.定理2（函数极限的局部有界性）如果则存常数M>0和δ>0,使得当时,有

17、f(x)

18、≤M.返回定理3（函数极限的局部保号性）如果而且A>0(或A<0),则存在常数δ>0,使得当时,有f(x)>0(或f(x)<0.)某一去心邻域，当x∈时，就有定理3如果，那末就存在着x0的

19、证:就A>0的情形证明.所以取则当时,有推论如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)且f(x)A(xx0)那么A0(或A0)返回二、自变量趋于无穷大时函数的极限类似地可定义如果当

20、x

21、无限增大时f(x)无限接近于某一常数A则常数A叫做函数f(x)当x时的极限记为0X0当

22、x

23、X时有

24、f(x)A

25、精确定义结论几何解释:0,X0,当

26、x

27、>X时有

28、f(x)-A

29、

30、称为函数y=f(x)的图形的例6.证明证:取因此注:就有故欲使即思考与练习1.若极限存在,2.设函数且存在,则是否一定有？作业：p-37习题1(1),2(1),6(2)