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时间:2020-04-03
《【备战2013】高考数学专题讲座 第17讲 高频考点分析之极限、导数和定积分探讨.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、【备战2013高考数学专题讲座】第17讲:高频考点分析之极限、导数和定积分探讨1~2讲,我们对客观性试题解法进行了探讨,3~8讲,对数学思想方法进行了探讨,9~12讲对数学解题方法进行了探讨,从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。在我国现在中学数学新教材中,微积分处于一种特殊的地位,是高中数学知识的一个重要交汇点,是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。微积分的思想方法和基本理论有着广泛的应用。结合中学数学的知识,高考中微积分问题主要有以下几种:1.极限的计算;2.应用导数求函数的最(极)值;3.应用导数讨论函数的增减性;4.导
2、数的几何意义和应用导数求曲线的切线;5.定积分的计算和应用。结合2012年全国各地高考的实例,我们从以上五方面探讨极限、导数和定积分问题的求解。一、极限的计算:典型例题:例1.(2012年四川省理5分)函数在处的极限是【】A、不存在B、等于C、等于D、等于【答案】A。【考点】分段函数,极限。【解析】分段函数在处不是无限靠近同一个值,故不存在极限。故选A。例2.(2012年重庆市理5分)▲.【答案】。【考点】极限的运算。【分析】。48例3.(2012年上海市理4分)有一列正方体,棱长组成以1为首项,为公比的等比数列,体积分别记为,则▲.
3、【答案】。【考点】无穷递缩等比数列的极限,等比数列的通项公式。【解析】由正方体的棱长组成以为首项,为公比的等比数列,可知它们的体积则组成了一个以1为首项,为公比的等比数列,因此,。二、应用导数求函数的最(极)值:典型例题:例1.(2012年重庆市理5分)设函数在上可导,其导函数为,且函数的图像如题图所示,则下列结论中一定成立的是【】(A)函数有极大值和极小值(B)函数有极大值和极小值(C)函数有极大值和极小值(D)函数有极大值和极小值【答案】D。【考点】函数在某点取得极值的条件,函数的图象。【分析】由图象知,与轴有三个交点,-2,1,
4、2,∴。由此得到,,,和在上的情况:48-212+0-0+0-+++0---+0---0+↗极大值↘非极值↘极小值↗∴的极大值为,的极小值为。故选D。例2.(2012年陕西省理5分)设函数,则【】A.为的极大值点B.为的极小值点C.为的极大值点D.为的极小值点【答案】D。【考点】应用导数求函数的极值。【解析】∵,令得。∴当时,,为减函数;当时,,为增函数,所以为的极小值点。故选D。例3.(2012年陕西省文5分)设函数则【】A.=为的极大值点B.=为的极小值点C.=2为的极大值点D.=2为的极小值点【答案】D。【考点】应用导数求函数的
5、极值。【解析】∵,令得。∴当时,,为减函数;当时,,为增函数。∴为的极小值点。48故选D。例4.(2012年广东省理14分)设a<1,集合,(1)求集合D(用区间表示)(2)求函数在D内的极值点。【答案】解:(1)设,方程的判别式①当时,,恒成立,∴。∴,即集合D=。②当时,,方程的两根为,。∴∴,即集合D=。③当时,,方程的两根为,。∴。48∴,即集合D=。(2)令得的可能极值点为。①当时,由(1)知,所以随的变化情况如下表:00↗极大值↘极小值↗∴在D内有两个极值点为:极大值点为,极小值点为。②当时,由(1)知=。∵,∴,∴随的变
6、化情况如下表:0↗极大值↘↗∴在D内仅有一个极值点:极大值点为,没有极小值点。③当时,由(1)知。48∵,∴。∴。∴。∴在D内没有极值点。【考点】分类思想的应用,集合的计算,解不等式,导数的应用。【解析】(1)根据根的判别式应用分类思想分、、讨论即可,计算比较繁。(2)求出,得到的可能极值点为。仍然分、、讨论。例5.(2012年浙江省理14分)已知,,函数.(Ⅰ)证明:当时,(i)函数的最大值为;(ii);(Ⅱ)若对恒成立,求的取值范围.【答案】(Ⅰ)证明:(ⅰ).当b≤0时,>0在0≤x≤1上恒成立,此时的最大值为:=
7、2a-b
8、﹢
9、a;当b>0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,此时的最大值为:=
10、2a-b
11、﹢a。48综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值为
12、2a-b
13、﹢a。(ⅱ)设=﹣,∵,∴令。当b≤0时,<0在0≤x≤1上恒成立,此时的最大值为:=
14、2a-b
15、﹢a;当b<0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,≤
16、2a-b
17、﹢a。综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)
18、2a-b
19、﹢a,即+
20、2a-b
21、﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立。(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知:函数在0≤x≤1上的最大值为
22、2a-b
23、﹢a,且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(
24、2a-b
25、﹢a)
26、要大。∵﹣1≤≤1对x[0,1]恒成立,∴
27、2a-b
28、﹢a≤1。取b为纵轴,a为横轴.则可行域为:和,目标函数为z=a+b。作图如下:48由图易得:当目标函数为z=a+b过P(1,2)时,有.∴所求a+b的取值范围为:。
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