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《第十章 曲线积分与曲面积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第十章曲线积分与曲面积分一、内容提要1．曲线积分的基本概念与性质(1)对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分）定义设在xOy面内的光滑曲线上有界.(极限存在时)其中是任意分割曲线为个小段弧后,所得到的第个小弧段上的任意一点,为该段弧的长度,．为空间曲线时，类似地有.物理意义设曲线的线密度为，则其质量为性质1运算性质其中为常数．性质2对弧长的曲线积分与积分路径的向无关，即其中是与方向相反的曲线弧．性质3对积分路径具有可加性，即其中．(2)对坐标的曲线积分（又称第二类曲线积分）定义设在xOy面内的有向光
2、滑曲线上有界.(极限存在时),其中是任意分割曲线为个有向小弧段后,所得的第个小弧段上的任意一点,为该段弧的长度,．为空间曲线时，类似地有264.物理意义变力沿曲线所作的功为．性质1对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关，即,其中是与方向相反的有向曲线弧．性质2对积分路径具有可加性，即其中．（3）两类曲线积分之间的关系平面曲线上两类曲线积分有如下关系其中为平面有向曲线上点处的切线向量的方向角．空间曲线上两类曲线积分有如下关系其中为空间有向曲线上点处的切线向量的方向角．2．曲线积分的计算公式(1)对弧长
3、的曲线积分设函数在平面曲线上连续在区间上连续，且，则设平面曲线的方程为且在区间上连续，则设函数在空间曲线上连续，在区间上连续，且264，则注意化对弧长的曲线积分为定积分时,定积分的上限一定比下限大．（2）对坐标的曲线积分设函数在有向曲线上连续，的参数方程为:为有向曲线的始点对应的参数值，为其终点对应的参数值．且在以为端点的区间上连续，，则若是由方程给出,的始点的横坐标为,终点的横坐标为,具有一阶连续导数,则类似地,对于空间曲线为有向曲线的始点对应的参数值，为其终点对应的参数值．（3）二元函数的全微
4、分求积设函数,在单连通域内有连续的一阶偏导数,且，则在内为某一函数的全微分，且有，(如图10－1(a))或，(如图10－1(b))．图10－1(b)图10－1(a)2643．曲线积分的有关定理定理1(格林公式)设闭区域是由分段光滑的曲线围成,函数在上具有连续的一阶偏导数，则有，其中是的取正向的边界曲线．定理2(平面上曲线积分与路径无关的条件)设函数,在单连通域内有连续的一阶偏导数,则以下四个条件等价① 与路径无关,即,其中、为内具有相同始点和终点任意曲线；② ,其中为内的任意闭曲线;③ 在内恒成立
5、;④,即在内为某一函数的全微分．4．曲面积分的基本概念与性质（1）对面积的曲面积分（又称第一类曲面积分）定义 设在光滑曲面上有界.(极限存在时)其中是任意分割曲面为片小曲面后,所得到的第片小曲面上的任意一点,为该片小曲面的面积,为片小曲面的直径中的最大者．物理意义设曲面的面密度为，则其质量为．性质设曲面都是光滑的,则（2）对坐标的曲面积分（又称第二类曲面积分）指定了侧的曲面称为有向曲面．定义设在有向光滑曲面上有界.264(极限存在时)(极限存在时)(极限存在时)其中是任意分割有向曲面为片小曲面后,
6、所得到的第片小曲面上的任意一点,分别为在三个坐标面上的投影.为片小曲面的直径中的最大者．曲面在点处的单位法向量为物理意义稳定流动的不可压缩的流体（密度），如果在点处的流速是,单位时间内流过曲面一侧的流量．性质1设曲面则性质2设表示与取相反侧的有向曲面，则（3）两类曲面积分之间的关系空间曲面上的两类曲面积分有如下关系其中是有向曲面上点处的法向量的方向余弦．5．曲面积分的计算公式（1）对面积的曲面积分264设光滑曲面的方程是在坐标面上的投影区域为，则设光滑曲面的方程是在坐标面上的投影区域为，则设光滑曲
7、面的方程是在坐标面上的投影区域为，则（2）对坐标的曲面积分设光滑曲面的方程是在坐标面上的投影区域为，则取上侧时为正，取下侧时为负．注意当曲面是母线平行于轴的柱面时，上任意一点的法向量与轴的夹角的余弦，则．设光滑曲面的方程是在坐标面上的投影区域为，则取右侧时为正，取左侧为负．设光滑曲面的方程是在坐标面上的投影区域为，则取前侧时为正，取后侧为负．6．曲面积分的有关定理定理1（高斯公式）设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面264所围成，函数在上具有一阶连续偏导数，则有或其中是的整个边界曲面的外侧，是上点处的
8、法向量的方向余弦．定理2（斯托克斯公式）设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与的侧符合右手规则,函数在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有或，其中为有向曲面的单位法向量．7．向量场的散度和旋度设向量场由向量给出,其中有连续的一阶偏导数,则称为向量场的散度,记作div,即div．向量称为向量场的旋度，记作，即264．二、例题解析1.曲线积分例10.1计算其中为圆周.解(方法一)根据公式将曲线积分化为定积分(方法二)由于在曲线上,且为曲线
