key第十章曲线积分与曲面积分

《key第十章曲线积分与曲面积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、79第十章曲线积分与曲面积分§10.1第一类曲线积分内容概要名称主要内容第一类曲线积分1.平面曲线：2.空间曲线：常用的性质1.若,则2.的弧长计算(平面曲线)1.，，其中具有一阶连续的导数，则，2.，，其中具有一阶连续的导数，则，3.，，其中具有一阶连续的导数，则，4．，，则计算(空间曲线),，其中具有一阶连续的导数，则常用的结论79例题分析★★1.计算，其中为连接，，的闭折线。知识点：第一类曲线积分.思路:由三段直线段组成，故要分段积分.解：如图则，，，，注：利用被积函数定义在上，故总有，.注：1)，对弧长的曲线积分是没有方向性的，积分限均应从小到

2、大.2)对段的积分可化为对的定积分，也可化为对的定积分，但段，段则只能化为对（或对）的定积分.★★2.计算，其中为圆周.知识点：第一类曲线积分.思路:为圆周用极坐标表示较简单.解：的极坐标方程：.79★3.计算曲线积分，其中为曲线,应于从到的一段弧.知识点：第一类曲线积分.思路:空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式.解：原式=.★★★1.计算曲线积分，其中为球面与平面的交线。知识点：第一类曲线积分.思路:的参数方程不易求出，不好用空间间曲线第一类曲线积分公式，但满足，故总有.解：即原式=注：1)利用被积函数定义在上，故总有，是常用的一种简化运算的方

3、法.2)为平面上的一个圆，圆心，半径为.课后习题全解习题10-1★1.设在面内有一分布着质量的曲线弧L，在点处它的线密度为，用对弧长的曲线积分分别表达：1)该曲线弧对轴、轴的转动惯量和；2)该曲线弧的质心坐标和.知识点：第一类曲线积分的概念及物理意义.思路:面内的一段曲线，其线密度为，则791)线段的质量为：2)线段关于轴和轴的静力矩为：3)线段对轴和轴的转动惯量：，解：由第一类曲线积分的概念及物理意义得(1),(2)★2.计算，其中。解：法一：原式=法二：原式=.(利用性质2)★3.计算，其中为连接，两点的直线。解：直线方程为：原式=★★4．计算，其

4、中L为内摆线的弧。解：摆线的参数方程为：原式79★★5.计算曲线积分，其中为螺旋线上相应于从到的一段弧。解：原式★★6.计算曲线积分，其中为折线,这里,,,依次为点，，，.解：如图，原式=：：，：，原式=.★★7.计算，其中为对数螺线在圆的内部。解：依题意：得.★★★8.计算曲线积分，其中为球面与平面的交线。解：即法一：的参数方程为：79原式=法二：原式=★9..求半径为、中心角为的均匀圆弧（线密度的质心.解：取扇形的角平分线为轴，顶点为原点建立平面直角坐标系，则圆弧的方程为：由图形的对称性和知，而故质心在（）.★10.求螺旋线，对轴的转动惯量，设曲线

5、的密度为常数.解：.★11.设螺旋形弹簧一圈的方程为，其中，它的线密度.求：(1)螺旋形弹簧关于轴的转动惯量;(2)螺旋形弹簧的重心.解:(1).79(2)螺旋形弹簧关于平面的静力矩分别为：同法得：.,.提高题★★★1.计算，其中为正向圆周，直线及轴在第一项限内所围成的扇形的整个边界.解：与在第一象限的交点为.如图：79;;.则原式★★★★2.计算，其中为圆柱面与锥面的交线.解：，参数方程为又故.(此题请核查)79§10.2第二类曲线积分内容概要名称主要内容第二类曲线积分1.平面曲线：2.空间曲线：常用的性质1．其中表曲线的某一方向(正向),表曲面的另

6、一方向(负向)2.若,则计算(平面曲线)，起点，终点，其中具有一阶连续的导数，则计算(空间曲线),起点，终点，其中具有一阶连续的导数，则例题分析★★1.计算，其中是为顶点的正方形的正向边界.知识点：第一类曲面积分.思路:如图由四段直线段组成，故要分段积分.解：如图则变化从到79变化从到变化从到变化从到.★2．计算曲线积分，其中为曲线上对应于从到的一段弧.知识点：第一类曲面积分.思路:空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式.解：原式.课后习题全解习题10-2★1.计算，其中为与轴所围成的闭曲线，依顺时针方向.解：如图其中变化从到，79变化从到,原式★2

7、.计算，其中为圆周上对应于从到的一段弧.解：原式★★3.计算曲线积分，其中为从经到点的那一段.解：变化从到原式.★★4.计算曲线积分，其中为圆周（按逆时针方向绕行）.解：圆的极坐标方程为：，从变到原式=.★★★5.计算，设，式中79方向依参数增加的方向.解：原式.★★★6.计算，其中为上对应于从到的一段弧.解：原式.★★★7.计算，其中是从点到点的直线.解：直线的方向向量为，故其参数方程为：从变到原式.★★★8.计算，其中为圆柱面与的交线，从轴正向看为逆时针方向.解：的参数方程为：,从变到原式★★★9.在过点和的曲线族中，求一条曲线，该曲线从O到A的积

8、分的值最小。解：：从变到,79令得（负号舍去）为所求曲线。★★★10.计算，其中分别为路线：(