第十章-曲线积分与曲面积分.doc

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1、第十章曲线积分与曲面积分10.1对弧长的曲线积分一、求曲线从到任意点间的那段弧的质量，设它各点的密度与该点到原点的距离的平方成反比，且在点处的密度为。（）二、计算下列曲线积分：1.，其中为旋轮线：（）。（）2.，其中是顶点为的三角形边界。（）3.，其中是由极坐标曲线所围成的区域的边界曲线。（）4.，其中由直线：及螺线组成。（）三、计算，其中是由所围成的第一象限部分的边界。（）四、计算，其中是圆：。（）五、计算，其中由直线及曲线所围成的第一象限部分的整个边界。（）10.2对坐标的曲线积分一、设一质点处于弹性力场

2、中，弹力方向指向原点，弹力大小与质点到原点的距离成正比，比例系数为。若质点从点沿椭圆在第一象限部分移动到点，求弹力所做的功。（）二、计算曲线积分，其中是抛物线沿增加的方向。（）三、计算，其中是曲线从点到点的一段弧。（）四、计算，其中是曲线从点到点的一段。（）五、计算，其中，为圆的上半部分，为是一段抛物线。（）六、计算，其中是由直线和两个坐标轴构成的三角形闭路，沿逆时针方向。（）七、计算，其中是曲线从到的一段弧。（）八、已知平面力场，将单位质量的质点从坐标原点沿直线移动到椭圆在第一象限上，问终点在何处时，力做功

3、最大？并求出功的最大值。（）10.3格林公式及其应用一、利用曲线积分计算由旋轮线（）与轴所围区域的面积。（）二、利用格林公式计算下列曲线积分：1.，其中是顶点为的三角形的边界，沿逆时针方向。（）2.，其中是圆周的逆时针方向。（）3.，其中是从点沿直线到点，再从点沿圆周的逆时针方向到点。（）4.，其中具有连续的导数，是连接点和的任何路径，且与直线所围成的区域的面积为定值，总是位于直线的左方。（）三、求，其中为正方形的逆时针方向。（）四、设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且，求，并计算积分。（）五、求，其

4、中是的上半圆，由点到点的弧段。（）六、求，其中是以为顶点的三角形的正向边界曲线。（）七、证明：在面上是某一函数的全微分，并求。（）八、求抛物线与轴所围区域的面积。（）九、设在上有连续导数，求，其中是从点到点的直线段。（）10.4对面积的曲面积分一、计算下列曲面积分：1.，其中是球面。（）2.，其中是平面在第一卦限部分。（）3.，其中是由圆锥面和平面所围成的圆锥体的表面。（）4.，其中是圆锥面被圆柱面所截下的那块曲面。（）5.，其中是抛物面（）。（）6.，其中是曲面（）在第一卦限的部分。（）二、求上半球壳的质量

5、，此壳的面密度。（）三、求均匀曲面的重心坐标。（）10.5对坐标的曲面积分一、把对坐标的曲面积分化为对面积的曲面积分：1.为平面在第一卦限部分的上侧。（）2.为球面的内侧。（）二、计算，其中为连续函数，为直角平行六面体的表面外侧。（）三、计算，其中为圆柱面在两卦限内被平面及所截部分的外侧。（）四、计算，其中为圆锥面及平面所围成的空间区域的整个边界的外侧。（）五、计算，其中为连续函数，为平面在第四卦限部分的上侧。（）10.6高斯公式通量与散度一、利用高斯公式计算曲面积分：1.，其中是由和三个坐标面所围成的四面体

6、的外侧表面。（）2.，其中是椭球面的外侧。（）二、求向径通过圆锥体（）全表面外侧的通量。（）三、求，其中是球面的上半部分的外侧。（）四、求其中是球面的下半部分的上侧，常数，可导。（）五、求，其中是下半球面的上侧。（）六、计算，其中为有向曲面，其法向量与轴正向的夹角为锐角。（）七、求下列向量场的散度：1.（）2.，其中（）10.7斯托克斯公式环流量与旋度一、利用斯托克斯公式计算曲线积分：，其中是椭圆，从轴正向往负向看，的方向是顺时针方向。（）二、求向量场的旋度。（）