放缩法在不等式的应用.doc

《放缩法在不等式的应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、生涯教育高二数学放缩法在不等式的应用所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主

2、要有以下几种：一.“添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1.设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证。例2.已知a、b、c不全为零，求证：二.分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3.已知a、b、c为三角形的三边，求证：。三.裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4.已知n∈N*，求。例5.已知且，求证：对所有正整数n都成立。

3、例6设数列满足（Ⅰ）证明对一切正整数成立；（Ⅱ）令，判定与的大小，（04年重庆卷理科第（22）题）10生涯教育高二数学四.利用重要不等式放缩1.均值不等式利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。例7设求证例8已知为正数，且，试证：对每一个，.（88年全国联赛题）2．利用有用结论例9求证例10已知函数求证：对任意且恒成立。（90年全国卷压轴题）例11已知用数学归纳法证明；对对都成立，证明（无理数）（05年辽宁卷第22题）例12已知不等式表示不超过的最大整数。设正数数列满足：求证（05年湖北卷第（22）题）例13设，

4、求证：数列单调递增且例14设数列满足，当时证明对所有有；（02年全国高考题）五利用单调性放缩1、构造数列如对上述例7，令则，递减，有，故10生涯教育高二数学再如例9，令则，即递增，有，得证！2．构造函数例15已知函数的最大值不大于，又当时（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明（04年辽宁卷第21题）例16数列由下列条件确定：，．（I）证明：对总有；(II)证明：对总有（02年北京卷第（19）题）六换元放缩例17求证例18设，，求证.七递推放缩递推放缩的典型例子，可参考上述例14中利用部分放缩所得结论进行递推放缩来证明，同理例11中所得和、例12

5、中、例13（Ⅰ）之法2所得都是进行递推放缩的关键式。八分项讨论例19已知数列的前项和满足（Ⅰ）写出数列的前3项；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数，有（04年全国卷Ⅲ）10生涯教育高二数学详细解析过程例1.证明：由题设得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b）2，而（a＋b）2＝a＋b＋ab＜a＋b＋（a＋b）2，即（a＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜，故有1＜a＋b＜。例2.证明：因为，同理，。所以例3.证明：由于a、b、c为正数，所以，，，所以

6、，又a，b，c为三角形的边，故b+c＞a，则为真分数，则，同理，，故.综合得。例4.证明：因为,10生涯教育高二数学则…………，证毕。例5.证明：因为，所以，又，所以，综合知结论成立。例6简析本题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有法1用数学归纳法（只考虑第二步）；法2则.例7解析此数列的通项为，，即注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里其中，等的各式及其变式公式均可供选用。10生涯教育高二数学例8简析由得，

7、又，故，而，令，则=，因为，倒序相加得=，而，则=，所以，即对每一个，.例9简析本题可以利用的有用结论主要有：法1利用假分数的一个性质可得即法2利用贝努利不等式的一个特例(此处)得注：例9是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：证明(可考虑用贝努利不等式的特例)例10简析本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（10生涯教育高二数学）不等式的简捷证法：而由不等式得(时取等号)（），得证！例11解析结合第问结论及所给

8、题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：。于是，即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：，即10生涯教育高二数学例12简析当时，即于是当时有注：①本题涉及的和式