数学建模-液滴高度问题.doc

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1、2013年河南科技大学数学建模选拔赛承诺书我们仔细阅读了数学建模选拔赛的规则.我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：B队员签名：1.于蕊瑞2.高亚娟3.王泽龙日期：2013年08月19日2013年河南科技

2、大学数学建模竞赛选拔编号专用页评阅编号（评阅前进行编号）：评阅记录（评阅时使用）：评阅人评分备注液滴高度问题的求解一、摘要通过对题目的分析，结合所学热工及其物理知识，排除不相关因素后，确立了以液体表面张力为研究重点的液滴接触角模型。首先采用逆向思维可以分析出影响接触角的因素有液体的表面张力，固体表面粗糙度，液体分子间的相互作用力以及气体与液体间的作用力等。经资料查证和经验分析可知，液体的表面张力是主导作用，因此确立表面张力系数就是此次研究的重点。通过对液体表面张力及溶液和水平面接触角等的分析，建立了饱和高度和极限高度的数学表达式。同时，通过对水平固体表面上液滴形态的合理性假设，利用几何学关系

3、，并通过定积分给出了液滴饱和体积计算方程，得到液体的饱和体积公式。由于温度、液体密度、液体纯度同时对表面张力、表面张力系数产生影响，于是选取在常温下0度到180度的接触角范围内分别选取几个特殊数据点计算出了饱和高度、饱和体积、极限高度及极限高度和饱和高度的比值，同时画出了完全不浸润的情况下液滴在水平固体表面的形态，考虑到温度对表面张力系数的绝对影响力，查资料得到液体表面张力系和温度的关系，并将其带入原来的模型，从而得到比较完整的求解模型。关键词：液体表面张力 极限高度 Young方程椭圆拟合接触角饱和高度饱和体积饱和半径12二、问题重述在物理实验中发现一个有趣的现象如下：测量放在一种固体材料

4、的水平平面上具有不同体积的液滴在静态时的高度时，发现当该液滴与固体的接触角不变的情况下，随着液滴体积的递增，液滴的高度递增，直到液滴体积达到某个（在此称之为）饱和体积时，液滴高度达到最大值（在此称之为饱和高度）。当液滴体积从饱和体积开始递增时，液滴的高度递减，而且随着体积的增大高度递减量越来越小，液滴高度似乎趋于一（在此称之为）极限高度。我们要建立一个针对不同材料表面，液滴的接触角度不同的情况下，求解液滴饱和高度、极限高度、饱和体积及极限高度与饱和高度的比值的模型。三、问题假设1、材料表面是理想光滑的并且绝对水平。2、重力加速度取值为9.78m/s。3、温度为室温20摄氏度。4、实验在无风条

5、件下进行，即接触角不会发生动态变化，并且液滴保持静止。5、在标准大气压下进行试验。6、液体纯净不含杂质。7、试验台与海平面保持一致。8、不同界面间只存在界面张力。9、液滴体积较小时为球缺，体积较大时液滴边缘为椭圆状。四、符号说明：固体表面张力：液固表面张力12：液体表面张力：水平固体表面液滴与水平面的接触角：饱和高度：极限高度：溶液密度S：铺展系数P：表面压力R：饱和高度下液滴近似球体半径g：重力加速度V：饱和条件下液滴体积a:饱和高度下液滴近似椭球体长轴半径b:饱和高度下液滴近似椭球体短轴半径c:饱和高度下液滴近似椭球体z轴半径五、模型建立考虑液滴置于理想的固体表面上，在光滑且均匀的固体表

6、面上滴一滴液体，通过固、液、气三乡交界点A,沿液滴面引一切线，切线和固体表面的夹角为接触角，从热力学观点看，液体落在固体表面时润湿情况，由Young’s方程：cos=(-)/，其中有固体表面张力,它倾向于是液滴铺展开来。液固表面张力，它倾向于使液滴收缩。以及液体表面张力，如图所示，液滴的体积不变，固液气三相的接触线在固体表面上的曲率半径分别为、、，液滴分别处于状态a、b、c，对应的接触角为、、，考虑线张力的影响，由力学平衡可以得到：cos=cos-其中是线张力的合力，在液滴体积不发生变化的条件下，三相接触线曲率半径的变化引起接触角的变化，从而使得接触角不再是唯一的，可以在某一范围内变化。当曲

7、率半径趋于无穷大是，该方程就可以转化为Young方程，当液体可以完全润湿固体表面时，接触角是唯一确定的。以下我们就针对特殊情况时来讨论。12通过对液滴与固体表面接触分析得知，液滴最终能达到静态平衡并具有一定的外形，主要受到使液滴铺展开来的固体表面张力，使液体收缩的液固表面张力，以及液体表面张力。经过分析查证可知润湿有三种类型，即沾湿、浸湿与铺展，又有润湿角的影响以及能量分析得出结论：θ=180º完全不润湿θ＞