北师大版2019年高中数学选修2-2习题：第1章 1.1、1.2 归纳与类比 活页作业1_含解析.doc

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1、活页作业(一)　归纳与类比1．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律，拼成若干个图案，则第六个图案中有阴影花色的正六边形的个数是(　　)A．26　　　　　　　　B．31C．32D．36解析：设第n个图案有an个阴影花色的正六边形，则a1＝6×1－0，a2＝6×2－1，a3＝6×3－2，故猜想a6＝6×6－5＝31.答案：B2．观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，……可以得出的一般结论是(　　)A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n

2、－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析：可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2……故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加……故第n个式子中有2n－1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方……故第n个式子应该是2n－1的平方，故可以得到n＋(n＋1)＋(n＋2)

3、＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：B3．已知x＞0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，我们可以得出推广结论：x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a等于(　　)A．2nB．n2C．3nD．nn解析：再续写一个不等式：x＋＝＋＋＋≥4＝4，由此可得a＝nn.答案：D4．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可推知扇形面积公式S扇等于(　　)A．B．C．D．不可类比解析：由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式．答案：C5．平面内平行于同一直线的两直线平行，

4、由此类比我们可以得到(　　)A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行解析：利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．答案：D6．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：＝＝·＝×＝.答案：1∶87．已知等差数列{an}的前n项和是Sn＝，由此可类比得到各项均为正数的等比数列{bn

5、}的前n项积Tn＝________(用n，b1，bn表示)．解析：由等差数列中的“求和”类比等比数列中的“求积”，可知各项均为正数的等比数列{bn}的前n项积Tn＝(b1bn).答案：(b1bn)8.上图中，上起第n行，左起第n＋1列的数是________．解析：第1行第2个数为2＝1×2，第2行第3个数为6＝2×3，第3行第4个数为12＝3×4，第4行第5个数为20＝4×5.故归纳出第n行第n＋1个数为n(n＋1)＝n2＋n.答案：n2＋n9．在椭圆中，有一结论：过椭圆＋＝1(a＞b＞0)上不在顶点的

6、任意一点P与长轴两端点A1，A2连线，则直线PA1与PA2斜率之积为－，类比该结论推理出双曲线的类似性质，并加以证明．解：过双曲线－＝1上不在顶点的任意一点P与实轴两端点A1，A2连线，则直线PA1与PA2斜率之积为.证明如下：设点P(x0，y0)，点A1(a,0)，A2(－a,0)．椭圆中：kPA1·kPA2＝·＝＝＝－；双曲线中：kPA1·kPA2＝＝＝.10．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝.观察上述两等式的规律，请你写出一个

7、一般性的命题，并证明．解：一般性的命题为sin2θ＋sin2(60°＋θ)＋sin2(120°＋θ)＝.证明如下：sin2θ＋sin2(60°＋θ)＋sin2(120°＋θ)＝＋＋＝－[cos2θ＋cos(120°＋2θ)＋cos(240°＋2θ)]＝－[cos2θ＋cos120°cos2θ－sin120°sin2θ＋cos(180°＋60°＋2θ)]＝－[cos(60°＋2θ)－cos(60°＋2θ)]＝.11．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结

8、论可知：四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体ABCD的体积为V，则R等于(　　)A．B．C．D．解析：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝.答案：C12．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，