人教A版2020学年高中数学选修4-5优化练习：第四讲 二　用数学归纳法证明不等式举例_含解析.doc

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1、[课时作业][A组　基础巩固]1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步即证下述哪个不等式成立(　　)A．1<2　　　　　　B．1＋<2C．1＋＋<2D．1＋<2解析：∵n∈N＋，且n>1，∴第一步n＝2，左边＝1＋＋，右边＝2，即1＋＋<2，应选C.答案：C2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>成立时，起始值n0至少应取(　　)A．7B．8C．9D．10解析：1＋＋＋＋＋…＋＝，n－1＝6，n＝7，故n0＝8.答案：B3．用数学归纳法证明“Sn＝＋＋＋…＋>1(n∈N＋)”时，S1等于(　　)A.B．C.＋D．＋＋解析：因为S1的首

2、项为＝，末项为＝，所以S1＝＋＋，故选D.答案：D4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么下列命题总成立的是(　　)A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k<5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)

3、2时不一定成立．对于B，C显然错误．对于D，因为f(4)＝25>42，因此对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立．答案：D5．某个命题与正整数n有关，如果当n＝k(k∈N＋)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时，命题也成立．现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得(　　)A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立解析：与“如果当n＝k(k∈N＋)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时命题也成立”等价的命题为“如果当n＝k＋1时命题不成立，则当n＝k(k∈N＋)时，命题也不成立”．故知当n＝5时，该命题不成

4、立，可推得当n＝4时该命题不成立，故选C.答案：C6．观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，可归纳出一般性结论：________.解析：由题意得1＋＋＋…＋<(n∈N＋)．答案：1＋＋＋…＋<(n∈N＋)7．用数学归纳法证明＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α＝(k∈N＋，a≠kπ，n∈N＋)，在验证n＝1时，左边计算所得的项是________．答案：＋cosα8．用数学归纳法证明：2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)时，第一步应验证________．答案：n＝1时，22≥12＋1＋2，即4＝49．证明不等式：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)．证

5、明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，命题成立，即1＋＋＋…＋<2(k∈N＋)．当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋<2＋＝，现在只需证明<2，即证：2<2k＋1，两边平方，整理得0<1，显然成立．∴<2成立．即1＋＋＋…＋＋<2成立．∴当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，对于任何正整数n原不等式都成立．10．设Sn＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，设计算S1，S2，S3，并猜想Sn的表达式，然后用数学归纳法给出证明．解析：∵S1＝＝＝，S2＝＋＝＝，S3＝＋＋＝＝，……猜想Sn＝(n∈N＋)．下面用数学归纳法证

6、明：(1)当n＝1时，左边S1＝＝，右边＝＝，等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即＋＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋＝＝＝，这就是说，当n＝k＋1时，等式成立．由(1)(2)可知，等式Sn＝对n∈N＋都成立．[B组　能力提升]1．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n(n∈N＋)个不等式为(　　)A．1＋＋＋…＋>B．1＋＋＋…＋>C．1＋＋＋…＋>D．1＋＋＋…＋>解析：∵1,3,7,15,31，…的通项公式为an＝2n－1，∴不等式左边应是1＋＋＋…＋.∵，1

7、，，2，，…的通项公式为bn＝，∴不等式右边应是.答案：C2．用数学归纳法证明不等式“＋＋…＋>(n>2，n∈N＋)”时的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边(　　)A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了两项，，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项解析：当n＝k时，左边＝＋＋…＋.当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋.故由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边增加了两项，又减少了一项．答案：C3．用数学归纳法证明某不等式，其中证n＝k＋1时不等式成立的关键一步是：＋>＋(　　)>，括号中应填的式子是________．解析：由>k＋2，联系不等式

8、的形式可知，应填k＋2.