2018-2019学年高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 二 用数学归纳法证明不等式举例讲义（含解析）新人教A版选修4-5

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1、二用数学归纳法证明不等式举例1．利用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．2．归纳—猜想—证明的思想方法数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中．一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性，形成“观察—归纳—猜想—证明”的思想方法．利用数学归

2、纳法证明不等式[例1]　证明不等式1＋＋＋…＋＜2(n∈N＋)．[思路点拨]　―→―→[证明]　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时不等式成立，即1＋＋＋…＋＜2，则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＜2＋＝，现在只需证明＜2成立，即证2＜2k＋1成立，两边平方并整理，得0＜1，显然成立，所以＜2成立．即1＋＋＋…＋＋＜2成立．所以当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对于任意正整数n，原不等式都成立．数学归纳法证明不等式的技巧(1)证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1时的

3、推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n＝k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一．(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程．1．设Sn是数列的前n项和，当n≥2时，比较S2n与的大小，并予以证明．解：由S22＝1＋＋＋＝＞，S23＝1＋＋＋＋＋…＋＞S22＋＋＋＋＞＋＝，猜想：S2n＞(n≥2)．下面用数学归纳法证明．(1)当

4、n＝2时，上面已证不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥2)时，有S2k＞，则当n＝k＋1时，S2k＋1＝S2k＋＋＋…＋＞＋＝＋＝，即当n＝k＋1时，不等式也成立．结合(1)(2)可知，S2n＞(n≥2，n∈N＋)成立．2．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)．证明：(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即1＋＋＋…＋<2－，当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，所以当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)知原不等式在n

5、≥2，n∈N＋时均成立．3．设Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明．解：(1)当n＝1,2时，Pn＝Qn.(2)当n≥3时，(以下再对x进行分类)．①若x∈(0，＋∞)，显然有Pn>Qn.②若x＝0，则Pn＝Qn.③若x∈(－1,0)，则P3－Q3＝x3<0，所以P3

6、x3＝Qk＋1＋x3

7、＝＝.这说明，n＝k＋1时猜想正确．由①②知，对于任何n∈N＋，都有an＝.利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察—归纳—猜想—证明．即先通过观察部分项的特点．进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明．4．在数列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4的值，由此猜测{an}，{bn}的通项公式；(2)证明你的结论．解：(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.由此可得a2＝6，

8、b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.(2)用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上知结论成立．②假设当n＝k时，结论成立．即ak＝k(k＋1)，