2019-2020学年数学人教A版选修4-5优化练习：第四讲 二 用数学归纳法证明不等式举例 Word版含解析.pdf

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1、[课时作业][A组基础巩固]1111．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步即证下232n－1＋述哪个不等式成立()1A．1<2B．1＋<22111C．1＋＋<2D．1＋<2233解析：∵n∈N，且n>1，＋11∴第一步n＝2，左边＝1＋＋，右边＝2，2311即1＋＋<2，应选C.23答案：C1111272．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>成立时，起始值n至少应242n－1640取()A．7B．8C．9D．1011111127解析：1＋＋＋＋＋…＋＝，248166464n－1＝6，n＝7，故n

2、＝8.0答案：B11113．用数学归纳法证明“S＝＋＋＋…＋>1(n∈N)”时，Snn＋1n＋2n＋33n＋1＋1等于()11A.B．2411111C.＋D．＋＋232341111111解析：因为S的首项为＝，末项为＝，所以S＝＋＋，11＋123×1＋1411＋11＋21＋3故选D.答案：D4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立

3、，则当k<5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)42，因此对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立．答案：D5．某个命题与正整数n有关，如果当n＝k(k∈N)时命题成立，那么可推得当n＋＝k＋1时，命题也成立．现已知当n＝5时该命

4、题不成立，那么可推得()A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立解析：与“如果当n＝k(k∈N)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时命题也成＋立”等价的命题为“如果当n＝k＋1时命题不成立，则当n＝k(k∈N)时，命题＋也不成立”．故知当n＝5时，该命题不成立，可推得当n＝4时该命题不成立，故选C.答案：C1311511176．观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，可归纳出一222223232232424般性结论：________.1112n＋1解析：

5、由题意得1＋＋＋…＋<(n∈N)．2232n＋12n＋1＋1112n＋1答案：1＋＋＋…＋<(n∈N)2232n＋12n＋1＋2n＋12n－1sinα·cosα1227．用数学归纳法证明＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α＝2sinα(k∈N，a≠kπ，n∈N)，在验证n＝1时，左边计算所得的项是________．＋＋1答案：＋cosα28．用数学归纳法证明：2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N)时，第一步应验证________．＋答案：n＝1时，22≥12＋1＋2，即4＝41119．证明不等式：1＋＋＋…

6、＋<2n(n∈N)．23n＋证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，命题成立，即1111＋＋＋…＋<2k(k∈N)．23k＋11111当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋<2k＋＝23kk＋1k＋12kk＋1＋1，k＋12kk＋1＋1现在只需证明<2k＋1，k＋1即证：2kk＋1<2k＋1，两边平方，整理得0<1，显然成立．2kk＋1＋1∴<2k＋1成立．k＋11111即1＋＋＋…＋＋<2k＋1成立．23kk＋1∴当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)知

7、，对于任何正整数n原不等式都成立．111110．设S＝＋＋＋…＋(n∈N)，设计算S，S，S，n1×33×55×72n－12n＋1＋123并猜想S的表达式，然后用数学归纳法给出证明．n111解析：∵S＝＝＝，11×332×1＋11122S＝＋＝＝，21×33×552×2＋111133S＝＋＋＝＝，31×33×55×772×3＋1……n猜想S＝(n∈N)．n2n＋1＋下面用数学归纳法证明：1111(1)当n＝1时，左边S＝＝，右边＝＝，等式成立．11×332×1＋13(2)假设n＝k(k≥1，k∈N)时等式成立，即

8、＋1111k＋＋＋…＋＝，1×33×55×72k－12k＋12k＋1则当n＝k＋1时，11111k＋＋＋…＋＋＝＋1×33×55×72k－12k＋12k＋12k＋32k＋112k＋12k＋32k2＋3k＋1k＋1k＋1＝＝＝，2k＋12k＋32k＋32k＋1＋1这就是说，当