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《高中数学人教A版选修4-5学案：第4讲2用数学归纳法证明不等式举例含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、二用数学归纳法证明不等式举例I学习目标导航1.会用数学归纳法证明简单的不等式.（重点）2.会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件.（难阶段1,认知预习质疑（知识梳理要点初探］［基础•初探］教材整理用数学归纳法证明不等式阅读教材卩50〜卩53,完成下列问题.1・贝努利（Bernoulli）不等式如果兀是实数，且x>-l,x^O,n为大于1的自然数，那么有（l+xf>l+nx.2.在运用数学归纳法证明不等式时，由n=k成立，推导n=k+1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行.。微体验o用数学归纳法证明“2">/+1对于的正整数«都成立”时，
2、第一步证明中的起始值必应取（）A.2B.3C・5D・6【解析】"取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5.【答案】C［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问］:解惑：疑问2:解惑：疑问3：解惑：阶段2介作探究通关［小组合作型］类型1数学归纳法证明不等式已知S“=l+*+t知>1,nGN+),求证：S2“>1+号(心2,【导学号：32750068］【精彩点拨】先求S”再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意必表示前〃项的和(Q1),首先验证n=2；然后证明归纳递推.111252【自主解答】⑴当n=2时，S22=1+2+3+4=12>1+29即n=2
3、时命题成立.I
4、1k⑵假设n=k(kM2,RWN+)时命题成立，即$2力=1+空+亍尹刃+㊁，当Yt—k^r1时,门,.1.1..1.1..1S2R+1=1+㊁+§—尹+刁匸所—•2*个匸—>1+111+卜+2+12+22+£+悬1=1+£+*=1+故当n=k+1时，命题也成立.n由(1)(2)知，对nWN_,心2,S2“>1+㊁都成立.名师眉鰹J此题容易犯两个错误，一是由n=k到=1项数变化弄错，认为余的后一项为詁7,实际上应为詁丁；二是#y+詁Q—*77共有多少项z和，实际上2*+1到2如是自然数递增，项数为2如一(2*+1)+1=2<［再练一题］人3)>1,/7)>
5、,/15)>2
6、,…”1.若在本例中，条件变为“设和)=1+*+**〃WN+),由/(1)=1>
7、,.试问：几2"—1)与号大小关系如何？试猜想并加以证明.13【解】数列1,3,7,15,…，通项公式为為=2"—1,数列㊁，1,㊁，2,…,n通项公式为羽=号,・•・猜想：求2"-1)疼下面用数学归纳法证明：①当n=时，/(21—1)=/(1)=1>
8、,不等式成立.②假设当n=k(&,WWN+)时不等式成立，即A2A-1)>
9、,当n=k+时，—1)=戏2人一l)+*+^py2A-+i_2+2A+i_1>y(2A-1)+1£(屮1、1k1T-7=/(2一l)+h>h+^■二2“+12小222・••当n
10、=k+时不等式也成立.据①②知对任何“WN+原不等式均成立.»例囚证明：2"+2＞，SWN+)・【精彩点拨】验证n=l,2,3时不等式成立假设〃成立,推证n=£+1=>n=k~~1成立,结论得证【自主解答】⑴当”=1时，左边=2,+2=4：右边=1,左边〉右边;当ti=2时，左=2~+2=6,右=2-=4,所以左〉右；当"=3时，左=2“+2=10,右=3?=9,所以左＞右.因此当"=1,2,3时，不等式成立.(2)假设当n=k(k23且EGN+)时，不等式成立，即2k+2＞lc伙WN+)・当n=k+时，2/c+1+2=2-2a+2=2(2*+2)—2＞2疋一2=/+2R+l+Q—
11、2R—3=伙+1尸+伙+1)伙一3),・.・上$3,・••伙+1)伙一3)20,・••伙+1尸+伙+1)伙一3)2伙+1尸，所以2k+i+2＞伙+1尸.故当n=k+时，原不等式也成立.根据⑴⑵知，原不等式对于任何卜都成立.1.本例屮，针对目标/+2R+1,由于£的取值范围伙21)太大，不便于缩小.因此，用增加奠基步骤(把验证扩•大到验证"=1,2,3)的方法，使假设中R的取值范围适当缩小到k23,促使放缩成功，达到目标.2•利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由到n=k+l的变形.为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观
12、察题目结构，二是要靠经验积累.［再练一题］2.用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数,不等式(i+IX1…(i+*?)＞密丑均成立•141~5【证明】(1)当斤=2时，左边=1+亍=亍；右边=2°・・•左边〉右边，・・・不等式成立；(2)假设n=k(k^2f且kWN+)时不等式成立，即(1+1)(1+*?)＞逬卫则当n=k+时，1十2伙+1)_1_2£+22£+2勺4疋+8比+42'2k+l~2yj2k+l~2汝+1勺4疋+弘+
