2020版高考文科数学大二轮专题复习新方略课时作业： 15圆锥曲线的综合问题 Word版含解析.pdf

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1、课时作业15圆锥曲线的综合问题x21．[2019·河北邢台模拟]已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B21关于直线y＝mx＋对称．2(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．1解析：(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋n.由mx2＋y2＝1，2112n消去y，得＋x2－x＋n2－1＝0.12m2my＝－x＋n，m1x2因为直线y＝－x＋n与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δm24＝－2n2＋2＋>0，①m22mnm2n1将AB的中点M的坐标，代入y＝mx＋，解得n＝m2＋

2、2m2＋22m2＋2－，②2m266由①②得m<－或m>.3366故m的取值范围是－∞，－∪，＋∞.331663(2)令t＝∈－，0∪0，，则t2∈0，2.m223－2t4＋2t2＋2

3、AB

4、＝t2＋1×，1t2＋21t2＋2点O到直线AB的距离d＝.t2＋1设△AOB的面积为S(t)，1112则S(t)＝

5、AB

6、·d＝－2t2－2＋2≤，222213当且仅当t2＝时，等号成立，此时满足t2∈0，2.22故△AOB面积的最大值为.2x2y22．[2019·上海静安区模

7、拟]设m>0，椭圆Γ：＋＝1与双曲线3mmC：m2x2－y2＝m2的焦点相同．(1)求椭圆Γ与双曲线C的方程；(2)过双曲线C的右顶点作两条斜率分别为k，k的直线l，l，分1212别交双曲线C于点P，Q(P，Q不同于右顶点)，若k·k＝－1，求证：12直线PQ的斜率为定值，并求出此定值．解析：(1)由题意，得2m＝m2＋1，所以m＝1.x2所以椭圆Γ的方程为＋y2＝1，双曲线C的方程为x2－y2＝1.3(2)双曲线C的右顶点为(1,0)，因为k·k＝－1，12不妨设k>0，则k<0.12设直线l的方程为y＝k(x－1)．11y＝kx－1，1由

8、得(1－k2)x2＋2k2x－k2－1＝0，x2－y2＝1，111k2＋1则1·x＝1，Pk2－11k2＋1k2＋12k得x＝1，y＝k1－1＝1.Pk2－1P1k2－1k2－1111k2＋12k同理，x＝2，y＝2，Qk2－1Qk2－122又k·k＝－1，12k2＋1k2＋12k－2k所以x＝2＝－1＝－x，y＝2＝1＝y.Qk2－1k2－1PQk2－11－k2P2121因为y＝y，所以直线PQ与x轴平行，即k为定值0.PQPQ3．[2019·江西南昌重点中学段考]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点M的动直

9、线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．解析：设直线AB：y＝kx＋1，A(x，y)，B(x，y)，1122将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，则x＋x＝2pk，xx＝－2p.①1212xxx2(1)由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为12＝－，pp2p∵点N在以AB为直径的圆上，2∴AN⊥BN，∴－＝－1，∴p＝2.pxx(2)易得直线AN：y－y＝1(x－x)，直线BN：y－y＝2(x－x)

10、，1p12p2xy－y＝1x－x，1p1联立，得结合①式，xy－y＝2x－x，2p2x＝pk，解得即N(pk，－1)．y＝－1，

11、AB

12、＝1＋k2

13、x－x

14、＝1＋k2x＋x2－4xx＝2112121＋k2·4p2k2＋8p，

15、kx＋1－y

16、

17、pk2＋2

18、点N到直线AB的距离d＝NN＝，1＋k21＋k21则S＝·

19、AB

20、·d＝ppk2＋23≥22p，当且仅当k＝0时，取等△ABN2号，∵△ABN的面积的最小值为4，∴22p＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.x2y24．[2019·贵州贵阳监测]已知椭圆C：＋

21、＝1(a>b>0)的左、右焦a2b2→→点分别为F，F，为M为短轴的上端点，MF·MF＝0，过F且垂直12122于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，

22、AB

23、＝2.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点(2，－1)且不经过点M的直线l与椭圆C相交于G，H两点，若k，k分别是直线MG，MH的斜率，求k＋k的值．1212→→解析：(1)由MF·MF＝0，得b＝c，12x2y2b2将x＝c代入＋＝1中，得y＝±，a2b2a2b2因为

24、AB

25、＝2，所以＝2，a又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝1，x2故椭圆C的方程为＋y2＝1.2(2)根据题意设直线l的方程为y＋

26、1＝k(x－2)(k≠－1)，即y＝kx－2k－1(k≠－1)，x2将y＝kx－2k－1代入＋