2020版高考文科数学新课标总复习练习：第三章 第16讲 导数与函数的单调性 Word版含解析.pdf

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1、第16讲导数与函数的单调性夯实基础【p】39【学习目标】了解函数的单调性和导数的关系；会利用导数研究函数的单调性．【基础检测】1．函数f(x)在其定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象为()【解析】观察函数y＝f(x)图象，从左到右单调性先单调递增，然后单调递减，最后单调递增．对应的导数符号为正，负，正，选项D的图象正确．故选D.【答案】D2．函数f(x)＝lnx－x的单调递增区间是()A．(－∞，1)B．(0，1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)【解析】∵函数f(x)＝lnx－

2、x，∴定义域为(0，＋∞)，11－x由f′(x)＝－1＝>0，解得00，

3、所以函数f(x)为增函数，所以不等式f(x2)

4、＝lnx－.求证：f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．1＋2x【解析】由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)．x∵f(x)＝lnx－，1＋2x11＋2x－2x4x2＋3x＋1∴f′(x)＝－＝.x（1＋2x）2x（1＋2x）2∵x＞0，∴4x2＋3x＋1＞0，x(1＋2x)2＞0.∴当x＞0时，f′(x)＞0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2)已知f(x)＝ex(ax＋1)(e为自然对数的底数，a∈R为常数)，讨论函数f(x)的单调性．【解析】∵f(x)＝ex(ax＋1)，∴f′(x)＝ex(ax＋a

5、＋1).∴当a＝0时，f′(x)>0，所以f(x)在R上单调递增．a＋1当a≠0时，f′(x)＝aexx－－.aa＋1当a>0时，在－∞，－上，f′(x)<0，所以f(x)单调递减；aa＋1在－，＋∞上，f′(x)>0，所以f(x)单调递增．aa＋1当a<0时，在－∞，－上，f′(x)>0，所以f(x)单调递增；aa＋1在－，＋∞上，f′(x)<0，所以f(x)单调递减.a【小结】导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的3步骤：(1)一求．求f′(x)；(2

6、)二定．确定f′(x)在(a，b)内的符号；(3)三结论．作出结论：f′(x)≥0时为增函数；f′(x)≤0时为减函数．考点2利用导数求函数的单调区间ax2例2已知函数f(x)＝(a≠0)，求函数f(x)的单调区间．exax2【解析】∵f(x)＝(a≠0)，ex2axex－ax2exax(2－x)∴f′(x)＝＝，（ex）2ex①当a>0时，在x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)<0，在x∈(0，2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上是减函数，在(0，2)上是增函数；②当a<0

7、时，在x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0，在x∈(0，2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上是增函数，在(0，2)上是减函数．【小结】1.利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0；②若已知f(x)的单调性求参数，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上的恒成立问题求解．2．确定函数单调区间4步骤：(1)

8、确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．考点3已知函数的单调性求参数的取值范围例3已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)在区间(－1，1)上为减函数，试求a的取值范围；(3)若