2020年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第1章 1.1、1.2 归纳与类比 活页作业1 Word版含解析.pdf

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1、活页作业(一)归纳与类比1．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律，拼成若干个图案，则第六个图案中有阴影花色的正六边形的个数是()A．26B．31C．32D．36解析：设第n个图案有a个阴影花色的正六边形，则a＝6×1－0，a＝6×2－1，an123＝6×3－2，故猜想a＝6×6－5＝31.6答案：B2．观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，……可以得出的一般结论是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋

2、(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析：可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2……故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加……故第n个式子中有2n－1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方……故第n个式子应该是2n－1的平方，故可以得到n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：B114xx43xx43．已知x＞0，由不等式x＋≥2x·＝2，x＋＝＋＋≥3··＝3，…，xxx222x222x2a我们可

3、以得出推广结论：x＋≥n＋1(n∈N)，则a等于()xn＋A．2nB．n2C．3nD．nn解析：再续写一个不等式：4xxx333xxx333x＋＝＋＋＋≥4···＝4，x3333x3333x3由此可得a＝nn.答案：D底×高4．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可推知扇形面2积公式S等于()扇r2l2A．B．22lrC．D．不可类比2解析：由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式．答案：C5．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到()A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间

4、中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行解析：利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．答案：D6．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1ShV1311S1h1111解析：＝＝·＝×＝.V1Sh4282Sh22322答案：1∶8na＋a7．已知等差数列{a}的前n项和是S＝1n，由此可类比得到各项均为正数的等nn2比数列{b}的前n项积T＝________(用n，b，b表示)．nn1n解析：由等差数列中的“求和”类比

5、等比数列中的“求积”，可知各项均为正数的等比n数列{b}的前n项积T＝(bb)2.nn1nn答案：(bb)21n8.上图中，上起第n行，左起第n＋1列的数是________．解析：第1行第2个数为2＝1×2，第2行第3个数为6＝2×3，第3行第4个数为12＝3×4，第4行第5个数为20＝4×5.故归纳出第n行第n＋1个数为n(n＋1)＝n2＋n.答案：n2＋nx2y29．在椭圆中，有一结论：过椭圆＋＝1(a＞b＞0)上不在顶点的任意一点P与长轴两a2b2b2端点A，A连线，则直线PA与PA斜率之积为－，类比该结论推理出双曲线的类似性质，1212a2并加以证明．x2y2解：

6、过双曲线－＝1上不在顶点的任意一点P与实轴两端点A，A连线，则直线a2b212b2PA与PA斜率之积为.证明如下：12a2设点P(x，y)，点A(a,0)，A(－a,0)．0012yy椭圆中：kPA·kPA＝0·0＝12x－ax＋a00x20y2b21－a2b20＝＝－；x2－a2x2－a2a200x20b2－1y2a2b2双曲线中：kPA·kPA＝0＝＝.12x2－a2x2－a2a2003310．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝.观察上述两等式22的规律，请你写出一个一般性的命题，并

7、证明．解：一般性的命题为3sin2θ＋sin2(60°＋θ)＋sin2(120°＋θ)＝.2证明如下：sin2θ＋sin2(60°＋θ)＋sin2(120°＋θ)1－cos2θ1－cos120°＋2θ1－cos240°＋2θ＝＋＋22231＝－[cos2θ＋cos(120°＋2θ)＋cos(240°＋2θ)]2231＝－[cos2θ＋cos120°cos2θ－sin120°sin2θ＋cos(180°＋60°＋2θ)]22313＝－[cos(60°＋2θ)－cos(60°＋2θ)]＝.2222S11．设△ABC的三边长