fxd2-1逻辑斯谛映射课件.ppt

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1、2.1平方映射（逻辑斯谛映射）与倍周期分岔1.平方映射2.平方映射的不动点及其稳定性3.平方映射的周期解及其稳定性4.倍周期分岔的功率谱第二章离散映射物理学上一个动力学系统可以用连续变量表示，也可以用离散数表示。一个以x为连续变量的单参数的动力学系统：这里为系统参数。设系统状态作等间隔t，t+1，t+2，t+3，…变化，则时间演化方程改写为：当时间间隔不取整数，各时刻写成相应的状态为：时间演化方程变成离散方程：数学上称为映射的方程。在非线性发展史上第一个将映射方程用于研究系统进入混沌状态的是美国科学家梅(MayRobert)映射方程1．平方映射xtgxt()(,

2、())+=1m映射方程计算对一个映射的计算采用的是迭代方法。即给定一个初值将其代入映射计算得，将代入映射计算得，由可算得，如此一直计算得：例如：一个简单映射1次迭代：2次迭代：n次迭代：于是有：如果将值看成为一条线上的一个点，则该组数值就构成一条轨道。1．平方映射动力学系统用连续变量表示为微分方程，用离散数表示时为映射(map)，两者对应关系为：映射与微分方程对应关系迭代计算解方程1．平方映射平方映射导出—生态平衡方程1838年，生物学家伏埃胡斯脱（Verhulst）在研究生物种群演化时提出一种设想：一个世代交替的生物种群是在一个受制约的环境中生息繁衍的。第n代

3、有:第n+1代有:A如不考虑生存环境对种群生存的影响，第n代与第n+1代有如下关系：当R>1，种群数量将线性地无限制增长。B种群受环境制约，数量有最大限额，种群繁殖空间第n代与第n+1代关系1．平方映射方程展开xn+1值与xn值是平方关系，称平方映射，文献中称洛吉斯蒂映射(逻辑斯谛映射，logisticmap),该式是抛物线表示式，也称抛物映射。由于亲、子两代种群数约化值，在0~1间，参数μ取值在[0，4]内：平方映射计算1.平方映射动力学系统用连续变量表示为微分方程，用离散数表示时为映射(map)，两者对应关系为：其解是一个平凡的S形函数。映射与微分方程对应关

4、系迭代计算解方程1．平方映射澳大利亚数学物理学与生物学家梅（R.May）发现，参量为m的平方映射，其解具有非常复杂的形式。1976年，他在《自然》杂志上发表了一篇“具有非常复杂动力学的简单的数学模型”，展现了这个映射如何描述动力系统从规则运动步入混沌运动的过程。离散映射采用迭代计算。即给定参数m值与初始值x0，就有：…设：各次计算值为：在此参数下，计算结果趋向一个终值：平方映射计算1.平方映射作图计算准备:1.坐标2.作条抛物线：3.作一条的对角线，称恒等线，通过它做投影。1.平方映射平方映射在平面上是一条抛物线，抛物线高度由m值决定。作图计算在横坐标x0处作竖

5、直线与抛物线相交，交点为x1。从此点作水平线与对角线相交，此交点横坐标为x1。由横坐标x1作垂线，与抛物线相交x2，移植到对角线上，得横坐标x2…。作图过程象结网，趋向于恒等线与抛物线交点B，这是计算的终值。1.平方映射作图计算1.平方映射平方映射的不动点通过作图或数值计算表明，计算可以得到一个不变的终值，它被称为映射的不动点。一个映射的不动点就是xi与xi+1相同时的数值，它不再因继续迭代而发生变化。对平方映射，不动点为：解此方程得：即有两个不动点。实际上，两个不动点就是抛物线与迭代线的两个交点A与B。抛物线的高度与μ值有关，最大高度在m=1/2处且等于μ/4

6、。如果参数μ较小(m<1)，抛物线高度较低，它与迭代线只有一个交点，即原点A。在这种情况下，不管初值如何迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。2.平方映射的不动点平方映射的两个不动点2.平方映射的不动点m<1时走向不动点A当参数m<1时，抛物线高度较低，与迭代线只有一个交点A。这时不管初值如何，迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。图b是随迭代次数n的变化曲线，这是最终衰变到零的指数衰变曲线。在生态上，虽然初始有一定的种群数量，但受到环境的制约最终走向了灭绝。2.平方映射的不动点μ=1~3时走向不动点B当μ>1时平方映射会出现第二个不动点。下图m值为2.0与1.

7、8时的迭代，可以看到虽然起始值很小，但每次迭代值增加，这是一个指数增长并最终稳定的过程。终值与起始值无关。2.平方映射的不动点3>μ>2时振荡走向不动点B当m值增大到μ>2时，迭代结果开始出现振荡起伏，然后逐步稳定在某个数值。例如，当m=2.8时，迭代值经过多次衰减振荡后逐步稳定。μ>2时通过振荡走向不动点B2.平方映射的不动点不动点的稳定性非线性动力学核心问题之一就是研究系统的稳定性问题。上述计算可见，当μ<3时迭代走向不动点，当μ>3迭代值出现持续振荡，说明迭代在μ=3附近发生了变化，稳定不动点变得不稳定了。如一维映射具有不动点，即有解设en为对不动点的偏离

8、量，需继续迭代，有：对右