计算方法52幂法与反幂法课件.ppt

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1、5.2幂法与反幂法适合于计算大型稀疏矩阵的主特征值（按模最大的特征值）和对应的特征向量，也称乘幂法。优点:方法简单理论依据：迭代法的收敛性矩阵按模的最大特征值排列往往表现为阈值。如：矩阵的谱半径。幂法就是一种求矩阵按模最大特征值的方法，它是最经典的方法。2021/7/301幂法的基本思想:任取一个非零初始向量，由矩阵A的乘幂构造一向量序列称为迭代向量。问题的提法：设,其特征值为,对应特征向量为即，且线性无关。求矩阵A的主特征值及对应的特征向量。2021/7/3021.A特征值中为强占优,即(1)幂法:问题：即，

2、且，线性无关。特征值满足：设,其特征值为,对应特征向量为的特征向量。,即为强占优。求矩阵的主特征值及对应2021/7/303则（且设）线性无关,即为Rn中一个基，于是对任意的初始向量有展开式。(用的线性组合表示)首先讨论2021/7/304其中当k=2,3,…时，即从而由假设,得2021/7/305则k足够大时，有可见几乎仅差一个倍数所以：2021/7/306且收敛速度由比值确定。所以有其次讨论主特征值的计算。表示的第i个分量，则相邻迭代向量的分量的比值为2021/7/307特征向量乘以任意非零常数仍对应于同一

3、特征值的特征向量因此，幂法是一种迭代方法。则有即相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征值,且收敛速度由敛可能很慢。比值来度量,r越小收敛越快,当而接近于1时,收2021/7/308（1）设有n个线性无关的特征向量；（3）幂法：（2）设A的特征值满足则定理7：2021/7/3092.A的主特征值为实的r重根，即问题：,求矩阵的主特征值及对应即，且，线性无关。特征值满足：设,其特征值为,对应特征向量为的特征向量。2021/7/3010对任意的初始向量有不全为零），则有（且设其中，且从而因此，当k充分大时,接近于与对应的

4、特征向量的某个线性组合(不全为零)。2021/7/3011解取v0=(1,0)T,计算vk=Avk-1,结果如下例：求矩阵A的按模最大的特征值k(vk)1(vk)2(vk)1/(vk-1)1(vk)2/(vk-1)201010.250.220.102500.0833330.410.4166530.0422920.0343890.412600.4126740.0174510.0141900.412630.41263可取10.41263,v1(0.017451,0.014190)T2021/7/3012在幂法

5、中，我们构造的序列可以看出因此，若序列收敛慢的话，可能造成计算的溢出或归02021/7/3013于无穷（或趋于零），这样造成计算机中的“溢出”。为了克服这个问题，利用向量的方向与长度无关这一性质，将迭代向量的长度规范化（“规一化”）以改进幂法。用幂法计算A的主特征值及对应的特征向量时,如果,,迭代向量的各个不等于零的分量将随而趋3.幂法的改进所谓向量长度规范化,就是将向量的分量同除以一个常数,使向量长度为1,向量长度有多种度量法,可以采用或,2021/7/3014任取初始向量：迭代规范化则有迭代向量序列及规范化

6、向量序列。2021/7/3015即（1）若：2021/7/3016收敛分别收敛反号的两个数（2）若：分别收敛到两个数，且绝对值不同。2021/7/3017（2）设A特征值满足定理8（1）设有n个线性无关的特征向量；且（3）及由改进幂法得到的规范化向量序列及迭代向量序列，则有且收敛速度由比值确定。2021/7/3018应用幂法时,应注意以下两点:2021/7/3019(2)加速方法(原点平移法)应用幂法计算A主特征值的收敛速度主要由比值来确定，当r<1但接近于1时,收敛可能很慢，一个补救的办法是采用加速收敛的方法

7、。引进矩阵B=A-pI，其中P是可选择的参数。2021/7/3020设A的特征值为则B的特征值为且A,B特征向量相同。A与B除了对角线元素外，其它元素都相同，原点平移法的思想如果需要计算A的主特征值，适当选择p使满足：（1）是B的主特征值，即对B应用幂法,使得在计算B的主特征值的过程中得到加速。这种方法通常称为原点平移法。对于特征值的某种分布，它是十分有效的。2021/7/3021原点平移法(加速法)显然,不管B如何选取,矩阵B=A-pI的主特征值为当要求计算及x1时，首先考虑应选取p满足:其次,使或求极值问题

8、1.设A的特征值是实数且满足：求特征值的最大值2021/7/3022当时，即时，值达到最小。即当的特征值满足时,最佳的p值为说明:当能初步估计时，就可选择P*的近似值。另外，的推导可以理解为,因为收敛速度由确定,如果能把原点向靠拢,使小下去,则可加快收敛速度。但是当原点移来，收敛速度又慢下去，因此把原点移到与的中点最合适，如图示，取作为新原点。到某点使时，就代替了，而就成了,若大起20