離散 vs 連続 離散数学 1の追加.ppt

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1、離散　ｖｓ　連続離散数学　開始するまえにこれまでの数学との接点を探る有限は離散離散と連続の比較は無限を対象無限の世界では　離散可算離散な数：自然数、整数、有理数1,2,3,・・・・・・・・可算集合・・,-3,-2,-1,0,1,2,3,・・・可算集合n/m分数（有理数）も可算集合代数的数（代数方程式の解）も可算集合これらは可算（countable）であるしかし、超越数は加算でないe=2.718・・・・・・,π=3.141592・・・・・など実数は可算でない（実数は連続である）0と1の間の実数で「可算でない」ことを背理法で証明結論（可算

2、でない）を否定可算である（数えられる）0.a11a12a13・・・・・・0.a21a22a23・・・・・・0.a31a32a33・・・・・・0.a41a42a43・・・・・・ただし、axxは0あるいは1とする0と1の間の実数のうち、小数点以下が0あるいは1で表現できるものをすべて順番に列挙上に列挙した数以外に実数は存在しない（はず）背理法：「結論を否定したとき矛盾」という証明法実数全体の中の[0,1]の集合小数点以下が,1と0で表現できるもの実数全体[0,1]の集合の中で小数点以下が,1と0の数すべてを列挙小数点以下が,1と0で表現で

3、きるもの[0,1]の実数集合が表現できるか？[0,1]の集合の中で小数点以下が,1と0の数すべてを列挙しかし、列挙できない数が存在する矛盾である！注：[0,1]の実数集合と実数全体の濃度は等しい。列挙されなかった数の存在を示す[0,1]の実数がつぎの形で表現されると仮定する0.a11a12a13a14・・・・・・0.a21a22a23a２4・・・・・・0.a31a32a33a３４・・・・・・0.a41a42a43a４４・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・上から大きさの順に並べる列挙されなかった数の存在を示す

4、0.a11a22a33a４４・・・・・・が列挙されなかった数である0.a11a12a13a14・・・・・・0.a21a22a23a２4・・・・・・0.a31a32a33a３４・・・・・・0.a41a42a43a４４・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・axxは0と1を入れ替えた数（注：矛盾は１点だけ指摘すればいい）矛盾の存在を示した前提の否定「実数は可算である」が矛盾を生じる「実数は可算でない」ことが証明された（カントール）カントール流の対比は集合論的な見方集合論的にいえば可算集合a実数の集合caのパワーセット

5、（すべての部分集合の集合）をつくるとcが得られるc=2aコンピュータの扱う数（データ）は可算集合（参考：チューリング・マシン）デデキンド流の見方実数は連続可算な数離散---------------------------------連続な集合をつくるには近傍をつかう近傍を使い連続（実数）化数学ではコンパクト近傍による連続化のコンピュータ的な見方近似コンピュータで扱う実数（数学でいう）実数ではない近似としての実数でしかない離散数学は有限集合を対象とする