2、2)再证事实上,令u=–x,当x0¯,u0+,代入,=1综合(1),(2)知,特点:(1+无穷小)的无穷大次方.该无穷小与无穷大恰好为倒数.则其极限为e.例1解例2解例3解例4解=lne=1例5解=1令u=ex–1,则x=ln(1+u),当x0时,u0.例6解令u=x–a,则x=a+u,当xa时,u0.例7解如何利用第二个重要极限呢?注意到,若f(x)A,则f(x)=A+,为无穷小量.例8解三、无穷小的比较一般,无穷小量的商有下列几种情形.定义1.设lim(x)=0,lim(x)=0.则称(x)是比(x)高阶的无穷小量,记作,(x)=o((x))或称(x
3、)是比(x)低阶的无穷小量,则称(x)是比(x)低阶的无穷小量.则称(x)和(x)是同阶无穷小量,记作(x)=O((x))则称(x)是(x)的k阶无穷小量.则称(x)和(x)是等价无穷小量,记作,(x)~(x)显然,若(x)~(x),则(x)和(x)是同阶无穷小量,比如定理设(x),(x),(x),(x)是某极限过程中的无穷小量.f(x)是另一变量,且,(x)~(x),(x)~(x),则只须右端极限存在或为无穷大.例1解由于当x0,tgx~x,从而tg2x~2x.当x0,sinx~x,从而sin5x~5x.故,例2解例3解=
4、0或例4解=1事实上,若作代换,有显然,这个结果是错误的.常用的等价无穷小.当x0时,sinx~x,tgx~x,arctgx~x,arcsinx~x,ex–1~x,ln(1+x)~x,第三节函数的连续性函数的连续性定义初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质一、函数的连续性定义例.火箭升空时,质量变化情形如图.一般,当f(x)连续变化时,其图形是一条连续曲线.反之,若f(x)图形是一条连续曲线,f(x)则是连续变化的.m0t0tmoxyoxyoxyyyf(x0)Axx0xx0从图上可看出,(x)在x0间断.但f(x)在x0连续.(x)在x0的极限不存在,而yy=(x)y=f(
5、x)yx0Byyxxx0定义1.设f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义.则称f(x)在x0连续,x0称为f(x)的连续点.否则称f(x)在x0间断,x0称为f(x)的间断点,或称为不连续点.连续性必须同时具备三个条件：1、存在。2、存在。3、当f(x)为多项式时,有所以,多项式及正,余弦函数在任何点x0处连续.定义2.则称f(x)在x0处右(左)连续.设f(x)在x0的某右邻域(某左邻域)内有定义,f(x)在x0处连续f(x)在x0左连续且右连续.解f(0)=3f(x)在x=0右连续.为使f(x)在x=0连续,必须f(0–0)=f(0)=f(0+0)即,a=3.故,a=3时,f(
6、x)在x=0连续.例1问a为何值时,f(x)在x=0连续.例2问f(x)在x=0是否连续.解f(0)=1右连续.故,f(x)在x=0间断.=–1f(0)不左连续.xyo–11y=f(x)间断点的分类：第一类间断点：是间断点，如果在的左右极限都存在则称是的第一类间断点。第二类间断点：如果左右极限中至少有一个不存在（包括无穷大）则称是的第二类间断点。二、初等函数的连续性1、初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的对于分段连续函数还须讨论分段点的连续性2、函数的连续性求极限若在处连续，则知即求连续函数的极限，可归结为计算函数值例其中3、复合函数求
7、极限的方法例1解(1)令u=sinx.代入.(2)也可直接利用例3后介绍的结论,有例2解代入,x0+三、闭区间上连续函数的性质一、最大值和最小值定理若f(x)C([a,b])，则它在该区间内至少取到它的最大值和最小值各一次.推论：若f(x)C([a,b])，则f(x)在[a,b]上有界.二、介值定理1、根存在定理(零点定理)设f(x)C([a,b])，且f(a)f(b)<0，则至少存在一点(a,b)，使得f()＝0.axyy=f(
