高等数学 高职02 第二章 极限与连续.pptx

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1、高等数学第一节数列的极限第二节函数的极限第三节无穷小与无穷大第四节函数极限的运算法则第二章极限与连续第五节两个重要极限第六节函数的连续性第七节连续函数的性质1.极限与连续的基本概念。2.极限和连续的主要性质。学习重点第二章极限与连续以前我们已经学过数列的概念，现在我们来考察当项数n无限增大时，无穷数列{an}的变化趋势.定义如果无穷数列{an}的项数n无限增大时，an无限趋近于一个确定的常数A,那么A就叫作数列{an}的极限(limit).记作一、数列极限的定义第一节函数极限的运算法则读作“当n趋向于无穷大时，数列{an}的极限等于A”.根

2、据定义，上面三个数列的极限分别记作一、数列极限的定义第一节函数极限的运算法则前面我们介绍了数列极限的定义，并通过观察求出了一些简单数列的极限.但对于数列极限的计算问题，通常需要用到数列极限的运算法则.法则(1)和法则(2)可以推广到有限个具有极限的数列的情形.二、数列极限的运算法则第一节函数极限的运算法则定义如果当x→∞时,函数f(x)无限趋近于确定的常数A,那么A就叫作函数f(x)当x→∞时的极限,记作这里“x→∞”表示x既取正值而无限增大(记作x→+∞)，又取负值而绝对值无限增大(记作x→-∞).但有的时候x的变化趋势只能取这两种变化中

3、的一种情况.一、当x→∞时函数f(x)的极限第二节函数的极限定义如果当x→+∞(或x→-∞)时，函数f(x)的值无限趋近于一个确定的常数A,那么A就称为函数f(x)当x→+∞(或x→-∞)时的极限，记作一、当x→∞时函数f(x)的极限第二节函数的极限定义设函数y=f(x)在x0的某空心邻域内有定义，如果当x无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数A，那么A就叫作函数f(x)当x→x0时的极限，记作二、当x→x0时函数f(x)的极限第二节函数的极限定义如果当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)的极限为零，那么称函数f(x)为当x→x0(或

4、x→∞)时的无穷小.一、无穷小第三节无穷小与无穷大定义如果当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)的绝对值无限增大，那么称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大.如果从函数极限的定义来看，f(x)的极限不存在，但是为了便于叙述，我们称“函数的极限是无穷大”，并记作二、无穷大第三节无穷小与无穷大定理在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，那么1/f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0，那么1/f(x)为无穷大.三、无穷小与无穷大第三节无穷小与无穷大定理在自变量的同一变化过程x→x0(或x→∞)中，limf(

5、x)=A的充分必要条件是：f(x)=A+α，其中A为常数，α为无穷小.注意：在“lim”符号下面不标x→x0或x→∞，表示所述结果对两者都适用，以后不再说明.四、函数极限与无穷小的关系第三节无穷小与无穷大在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下三个性质：性质1有限个无穷小的代数和为无穷小.性质2有界函数与无穷小的乘积为无穷小.性质3有限个无穷小的乘积为无穷小.五、无穷小的性质第三节无穷小与无穷大定义设α与β是同一变化过程中的两个无穷小，即limα=0，limβ=0.(1)如果limα/β=0，那么称α是比β高阶的无穷小；(2)如果limα/

6、β=∞，那么称α是比β低阶的无穷小；(3)如果limα/β=c≠0，那么称α与β是同阶无穷小.特别是当c=1，即当limα/β=1时，则称α与β是等价无穷小，记作α～β.由定义可知，当x→0时，x2是比3x高阶的无穷小，而3x是比x2低阶的无穷小，3x与2x是同阶无穷小.六、无穷小的比较第三节无穷小与无穷大与数列极限类似，对于比较复杂的函数极限，我们也需要用到极限的运算法则来进行计算.下面给出函数极限的运算法则：法则（1）和法则（2）可推广到有限个具有极限的函数的情形.第四节函数极限的运算法则我们考察当x趋近于0时，函数sinx/x的变化趋

7、势，列表如下：从上表中可以看出，当x→0时，sinx/x→1，即第五节两个重要极限我们考察当x→∞时，函数（1+1/x）x的变化趋势，列表如下：第五节两个重要极限从上表中可以看出，当x→+∞和x→-∞时，函数（1+1/x）x无限趋近于一个确定的常数，这个常数就是无理数e=2.71828182845…，即在上式中，令u=1／x，则当x→∞时，u→0，于是我们可以得到另一种形式第五节两个重要极限定义设函数y=f(x)，当自变量由初值x0变到终值x1时，我们把差值x1-x0叫作自变量的增量(或改变量)，记作Δx，即Δx=x1-x0.因此X1=x0

8、+Δx.这时可以说，自变量由初值x0变化到x0+Δx.相应地，函数值由f(x0)变化到f(x0+Δx)，我们把差值f(x0+Δx)-f(x0)叫作函数的增量(或改变量)，记作Δy