高等数学B：极限_连续_.pdf

《高等数学B：极限_连续_.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、极限问题求极限的主要方法：1．极限的四则运算，2.数列单调有极限、3.夹逼定理性、4．柯西收敛准则5．单侧极限与极限的关系6．无穷小量的性质7．等价无穷小量8.利用保号性9.利用周期函数10.利用limf(x)=⇔00limf(x)=11.利用limx=⇔aalimx=且limx=a.nnn22−1主要手段：恒等变形（通分，有理化，提公因式，换元法，拆项等）a1.若a>0且limn+1=r<1，则lima=0.nnn→∞an→∞nan+1lim=r<1证明：因为，由极限的保号性知：n→∞ana存在q

2、∈(r)1,及自然数N，当n>N时，有n+1

3、⋅⋅⋅,a}，12p12pn→∞(a,i=⋅12,,,⋅⋅p）；innln(e+x)5.求极限lim,(x≥0)n→∞nn2n⎛⎞x6.求limn1++x⎜⎟n→∞⎝⎠2单调有界问题1⎛⎞a7.若a>0，x,01>=+02xnn+⎜⎟x2，3x⎝⎠n证明：limxn存在，并求limxnn→∞n→∞1⎛a⎞a⎜⎟3x=x+x+≥3x⋅x⋅=a证明：n+13⎜nnx2⎟nnx2，⎝n⎠n即{xn}有下界1⎛a⎞3x=⎜x+x+⎟≤1⎛⎞xnn+1⎜nn2⎟⎜⎟xxnn++=xn，3x3x2⎝n⎠⎝⎠n即

4、{xn}单减所以由单调有界原理得：数列{xn}收敛，3易求得limxn=a.n→∞8.已知xx21n＝2，＋1n＝x＋3.求limxnn→∞ab+2abnnnn9.（练习）设ab,>>0a=,b=，(n≥1)，11nn++112ab+nn证明{a}，{b}都收敛于ab.nn1161(x)+n10.（练习）设数列x,>01x=,(n,=2,⋅⋅⋅).11n+7+xn证明数列{xn}收敛并求limxnn→∞1⎡⎤⎢⎥2+esxinx11.求lim+⎢⎥4;x→0

5、x

6、⎢⎥⎣⎦1+ex212.求极限lim

7、tannn（+1π）n→∞213.求极限limsin（πn+1）n→∞214.求极限limsin（πn+n）n→∞利用等价无穷小求极限sinmx15.求极限limx→πsinnx1x16.求极限lim（（2－cosx）－）13x→0x1+−xsinxcosx17.求极限limx→0sinxln(⋅+1x)⎧⎫⎡⎤xxx18.求极限limlimcosxcos⎨⎬cos⋅⋅⋅cosxn→→0⎩⎭∞⎢⎥⎣⎦2222nn19.求极限limlimcos{}()πm！xm0→→n∞20.1+an若－1

8、a=(n=1,2,?)0n2n求(i)极限lim41(−a)nn→∞(ii)极限lim(aa?a)12nn→∞θ0提示：令=acosθθ，0<<π=,acos,000nn2极限中常数的确定xab++16.已知lim=1，求非零常数a,b的值2x→1x−12xb++xa17.设lim=5，试确定b,a的值x→11−x解答：b,=−7a6=32xa−−+xx418.设lim=b，求a,b的值x→−11+x解答：a,==4b123319.已知lim(x−+−−=x10axb),确定常数a,b的值x→−∞2

9、xmn20.当x→0时，1−−cos(e1)与2x是等价无穷小，求常数m,n。解答：m,=−14n=连续问题21.设f(x)在(,−∞+∞)上满足f(x)=f(x)且f(x)在x,==01x连续，证明f(x)在(,−∞+∞)上为常数。证明：当x>0时，2由f(x)=f(x)可推出n42f(x)===f(x)f(x)⋅⋅⋅=f(x);nn22因此f(x)lim=f(x)=f(limx)=f()1n→∞n→∞当x<0时，2由f(x)=f(x)可推出n22f(x)==f(x)⋅⋅⋅=f(x)因此nn22f

10、(x)===limf(x)f(limx)f()1nn→∞→∞当x=0时，f()01=limf(x)=f()x→02.（练习1）设f(x)在(,−∞+∞)上有定义，且满足f(x)2=f(x)，如果f(x)在x=0连续，证明f(x)在(,−∞+∞)上为常数。3.（练习2）设定义在R上的函数f(x)在N(,)0δ内有界，且满足f(x)α=βf(x)，(,α>>11β)证明f在x=0处连续nn1n(提示：f(xαβ)=f(x)，即f(x)=f(αx))nβ3.证明下列问题：（