初中数学几何最值最短路径问题专练.docx

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1、初中数学几何最值最短路径问题专练专练3最短路径模型——旋转最值类基本模型图:当点P是⊙O外一点，直线PO分别交⊙O于点A、B两点，则线段PA的长是点P到⊙O的最短距离，线段PB的长是点P到⊙O上的点的最长距离.当点P是⊙O内一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则线段PA的长是点P到⊙O上的点的最短距离，线段PB的是点P到⊙O上的点的最长距离.总结：用旋转思想解决线段最值问题的本质是利用三角形三边关系解决问题.特点：旋转类最值一般涉及到平面上一定点到圆上一动点的最大值（或最小值），属于单动点问题，有时动点的运动路径圆（或圆弧）并不直接给出，此时需要根据

2、条件把“隐圆”勾画出来，具体来说“隐圆”一般有如下呈现方式：①定点定长；②定弦定角.【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连结B′D，则B′D的最小值是（）．A．B.6C.D.4【思路探究】根据E为AB中点，BE＝B′E可知，点A、B、B′在以点E为圆心，AE长为半径的圆上，D、E为定点，B′是动点，当E、B′、D三点共线时，B′D的长最小，此时B′D＝DE－EB′，问题得解.【解析】∵AE＝BE，BE＝B′E，由圆的定义可知，A、B、B′在以点E为

3、圆心，AB长为直径的圆上，如图所示.B′D的长最小值=DE－EB′＝.故选A．【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E为圆心，EB′为半径的定圆，当点D到圆上的最小距离为点D到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E、B′、D三点共线时，等号成立.【典例2】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连结BE交AG于点H，若正方形的边长是2，则线段DH长度的最小值是.【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB＝90°，故点H在以AB

4、为直径的圆上.取AB中点O，当D、H、O三点共线时，DH的值最小，此时DH＝OD－OH，问题得解.【解析】由△ABE≌△DCF，得∠ABE＝∠DCF，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF＝∠DAG，∠ABE＝∠DAG，所以∠AHB＝90°，故点H在以AB为直径的圆弧上.取AB中点O，OD交⊙O于点H，此时DH最小，∵OH＝，OD＝，∴DH的最小值为OD－OH＝.【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H在以AB为直径的圆上，点D在圆外，DH的最小值为DO－OH.当然此题也可利用的基本模型解决.

5、【针对训练】1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，点A，C分别在x轴，y轴上，当点A在轴正半轴上运动时，点C随之在轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（）.A．B．C．D．32.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（）.A．B.C.D.43.如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的运点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）.A.6B.C.9D.4.如图，AC＝

6、3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）.A.B.C.5D.5．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG，则CG的最小值为（）．A．B．C.D.6．如图，△ABC、△EFG是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FG相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是A．B．C.D.7．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的

7、直线翻折得到△A′MN，连结A′C，则A′C长度的最小值是.8．（2017威海）如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若点P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为．