自动控制原理课件第二章2电子教案.ppt

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第二节　控制系统的复数域数学模型一、拉普拉斯变换及其主要性质二、传递函数的定义及求取拉氏变换可以简化线性微分方程的求解。还可将线性定常微分方程转换为复数S域内的数学模型—传递函数。第二章　自动控制系统的数学模型三、典型环节的传递函数 第二节控制系统的复域数学模型一、拉普拉斯变换及其主要性质:1．拉普拉斯变换的定义：设函数f(t)当t0时有定义，且积分在s的某个域内收敛，则它的拉氏变换定义为：2．拉普拉斯变换的主要性质：1）线性性质：若、是常数， 2）微分性质:3）积分性质:第二节控制系统的复域数学模型 4）位移性质:5）延迟性质:6）初值定理:7）终值定理:第二节控制系统的复域数学模型 3.拉氏逆变换:4.卷积定理:第二节控制系统的复域数学模型 5.典型函数的拉氏变换:第二节控制系统的复域数学模型 6.部分分式展开定理:一般，象函数F(s)是复变数s的有理代数分式，即可以表示成如下形式：第二节控制系统的复域数学模型 第二节控制系统的复域数学模型 第三节传递函数输出拉氏变换二、传递函数的定义及求取系统的结构图输入输入拉氏变换输出传递函数的定义：零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。G(S)R(S)C(S)r(t)c(t)R(s)C(s)G(s)= 零初始条件:　　系统的输入量、输出量及其各阶导数在t=0时的值均为零。求取系统传递函数的步骤:1）列写系统微分方程（非线性方程需线性化）；2）设全部初始条件为零，对微分方程两边取拉氏变换；3）求输出量与输入量的拉氏变换之比——系统传递函数。 式中，c(t)——系统输出量r(t)——系统输入量ai(i=1,2,…,n),bj(j=1,2,…,m)为常系数设线性定常系统的微分方程为: 对微分方程的一般表达式进行拉氏变换得系统传递函数的一般表达式为(a0sn+a1sn-1+···+an-1s+an)C(s)=(b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bm)R(s)R(s)C(s)G(s)==b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bma0sn+a1sn-1+···+an-1s+an第三节传递函数（n≥m） 例求图示RLC电路的传递函数。+-uruc+-CLRi解：输出量：输入量：uruci=CducdtLdidtur=R·i++uc根据基尔霍夫定律：得RCducdt+uc=urLCd2ucdt2+拉氏变换：RCsUc(s)+LCs2Uc(s)+Uc(s)=Ur(s)传递函数为:G(s)=1LCs2+RCs+1Uc(s)Ur(s)=第三节传递函数 dh(t)1=qi(t)dtAh(t)2A+ah0例求液位控制系统的传递函数.将上式两边求拉氏变换：设解：得asH(s)+H(s)Qi(s)=h02A1AH(s)A(s+=ah02A)1Qi(s)s+1=ah02A/ah02=Abah02Aa=bh02传递函数为H(s)Abs+1b=Qi(s)第三节传递函数 传递函数性质：（1）传递函数只适用于线性定常系统。（2）传递函数取决于系统的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关。（3）传递函数一般为复变量S的有理分式。（4）传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映非零初始条件下系统的运动过程。将传递函数中的分子与分母多项式分别用因式连乘的形式来表示，即G(s)=K＊(s–z1)(s–z2)···(s–zm)(s–s1)(s–s2)···(s–sn)式中：n>=mK＊—为根轨迹增益S=S1,S2···,Sn—传递函数的极点S=Z1,Z2···,Zm—传递函数的零点传递函数分母多项式就是相应微分方程的特征多项式，传递函数的极点就是微分方程的特征根。第三节传递函数 首1标准型（即零、极点形式）：首1标准型在根轨迹法中使用较多尾1标准型：尾1标准型在频率法中使用较多系统的根轨迹增益—jnjimiKpszsKsRsCsG)()()()()(*11*-Õ-Õ==== （5）传递函数与微分方程一一对应。微分方程：在时域内描述系统的动态关系（特性）传递函数：在复频域内描述系统的动态关系（特性）（6）不同物理系统（机械、电气、液压）可用形式相同的传递函数来描述——相似原理，能用相同数学模型描述的系统——相似系统。应用意义：可用模拟机进行系统研究第三节传递函数 （7）传递函数的拉氏反变换为系统的脉冲响应。系统的输入是单位脉冲信号(t)时，系统的输出称为脉冲响应。 一般可将自动控制系统的数学模型看作由若干个典型环节所组成。研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系统性能的了解。三、典型环节的传递函数第三节传递函数 K=-R1R2比例环节实例(a)-∞++urR1ucR2由运算放大器构成的比例环节(b)线性电位器构成的比例环节K=R2+R1R2uc(t)+-R1R2+-ur(t)第三节传递函数1．比例环节 C(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)—比例环节系数拉氏变换:比例环节的传递函数:微分方程:K比例环节方框图KR(S)C(S)特点:输出不失真,不延迟,成比例地R(s)C(s)G(s)==K复现输入信号的变化.第三节传递函数 -∞++R1R0urucC惯性环节实例(a)运算放大器构成的惯性环节R1CS+1R1/R2G(s)=–(b)RC电路构成的惯性环节1RCS+1G(s)=第三节传递函数2．惯性环节r(t)RCc(t) 惯性环节的微分方程:+c(t)=Kr(t)dc(t)dtT—比例常数—时间系数式中KT拉氏变换：TsC(s)+C(s)=KR(s)惯性环节的传递函数:R(s)C(s)G(s)=KTs+1=惯性环节方框图R(S)C(S)1+TsK单位阶跃信号作用下的响应:R(s)=1sKTs+11s·C(s)=拉氏反变换得:c(t)=K(1–e)tT-第三节传递函数 单位阶跃响应曲线特点:输出量不能瞬时完成与输入量完全一致的变化.第三节传递函数r(t)t0c(t)1r(t)c(t)T0.632 R(s)C(s)G(s)==1TsTTsC(s)=R(s)=r(t)dc(t)dtT微分方程：—积分时间常数3．积分环节传递函数：拉氏变换：积分环节方框图R(S)C(S)Ts11TC(t)=t1TS1S·C(s)=1TS2=R(s)=1S积分环节的单位阶跃响应：第三节传递函数 单位阶跃响应曲线输出量与输入量对时间的积分成正比，具有滞后作用和记忆功能.特点:第三节传递函数r(t)t0c(t)1c(t)r(t)T 积分环节实例(a)由运算放大器构成的积分环节-∞++R0ucCur1RCSG(s)=–(b)电机构成的积分环节+-UdMθSKG(s)=第三节传递函数 4．微分环节R(S)C(S)Ts理想微分环节数学模型：—微分时间常数微分环节方框图单位阶跃响应函数：c(t)=dr(t)dtTTR(s)C(s)G(s)==TsC(t)=Tδ(t)第三节传递函数 单位阶跃响应曲线理想脉冲实际中是不可能实现的，实际的物理装置中常用近似理想微分环节。第三节传递函数r(t)t0c(t)c(t)r(t) G(s)=RCs(a)近似理想微分环节实例-Δ∞++RucCur运算放大器构成的微分环节+-uc+-CRur(b)RC电路构成的微分环节RCsRCS+1G(s)=TsTs+1=T=RC<<1G(s)Ts第三节传递函数 实用微分环节的单位阶跃响应:单位阶跃响应曲线C(s)TsTs+1=1s=1s+1/Tc(t)=etT-特点:输出量反映了输入量的变化率，而不反映输入量本身的大小.第三节传递函数r(t)r(t)t0c(t)c(t)1 采用运算放大器构成的比例微分环节：R1ucC1R2ur-Δ∞++由于微分环节的输出只能反映输入信号的变化率，不能反映输入量本身的大小，故常采用比例微分环节。传递函数：单位阶跃响应：c(t)=KTδ(t)+K=K[Tδ(t)+1]R(s)C(s)G(s)==K(Ts+1)第三节传递函数 单位阶跃响应曲线第三节传递函数1c(t)r(t)r(t)t0c(t) 5.振荡环节微分方程：+c(t)=r(t)+2Td2c(t)dt2dc(t)dtT2ζ—时间常数—阻尼比ζT传递函数：1T2S2+2TS+1=R(s)C(s)G(s)=ζG(s)=T21T21T2S2+S+ζn2ωn2ωnζS2+2S+ω=T1ωn=—无阻尼自然振荡频率振荡环节方框图S2+2ξωnS+ωn2ωn2R(S)C(S)单位阶跃响应：c(t)=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e第三节传递函数 单位阶跃响应曲线第三节传递函数1c(t)r(t)r(t)t0c(t) 1ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)=常见振荡环节的实例：（1）弹簧-质量-阻尼器组成的机械位移系统（2）他激直流电动机（3）RLC电路1LCs2+RCs+1=Ur(s)Uc(s)G(s)=1/CeTaTms2+Tms+1=Ua(s)N(s)G(s)=第三节传递函数 R(s)C(s)G(s)==e-τs=eτs1c(t)=r(t–τ)·1(t–τ)R(S)C(S)e-as6．时滞环节—延时时间数学模型：时滞环节方框图传递函数：时滞环节作近似处理得1+τs1G(s)=es1=1+τS+2!2S2+···1τ第三节传递函数 阶跃响应曲线第三节传递函数1c(t)r(t)r(t)t0c(t)τ