等差数列前N项和的公式上课讲义.ppt

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1、复习回顾(1)等差数列的通项公式:已知首项a1和公差d,则有:an=a1+(n-1)d已知第m项am和公差d,则有:an=am+(n-m)d,d=（an-am）/（n-m）(2)等差数列的性质:在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q(m,n,p,q∈N),那么:an+am=ap+aq返回问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）假设1+2+3++100=x,(1)那么100+99+98++1=x.(2)由(1)+(2)得101+101+101++101=2x,100个101所以2x101100,x=5050.高斯这个问题，可看成是求等

2、差数列1，2，3，…，n，…的前100项的和。下一页探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和。有无简单的方法？下一页探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？借助几何图形之直观性，使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。下一页探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？121220319获得算法：(121)21s212下一页211问题3:

3、求:1+2+3+4+…+n=?记:S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+12Sn(n1),n(n1)S下一页2下面将对等差数列的前n项和公式进行推导设等差数列a1,a2,a3,…它的前n项和是Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由等差数列的性质a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…由(1)+(2)得2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..即Sn=n(a1+an)/2下一页由此得到等差数列的{an}前n项和的公式n(aa)1nSn2即

4、：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d上面的公式又可以写成n(n1)Snadn12解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。公式共涉及到5个量：a,d,n,a,S.已知其中3个可求另2个1nn正所谓：知三求二下一页（1）1+2+3+…+n=Sn=n（n+1）/2（2）1+3+5+…+（2n-1）=Sn=n2（3）2+4+6…+2n=Sn=n（n+1）上面习题的答案在以后会经常用到。1.将等差数列前n项和公式n(n1)dSnan12看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？dd2Sn(a)nn122令Ad,Ba

5、d则Sn=An2+Bn122当d≠0时,S是常数项为零的二次函数n㈡【说明】①推导等差数列的前n项和公式的方法叫倒序相加法；②等差数列的前n项和公式类同于梯形的面积公式；S=an2+bn③{a}为等差数列n，这n是一个关于n的没有常数项的“二次函数”（注意a还可以是0）例1如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为{an},其中a1=1,a120=120.根据等差数列前n项和的公式，得120(1120)S

6、72601202答：V形架上共放着7260支铅笔。例2：在等差数列{an}中，（1）a3=-2，a8=12，求S10（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn解：（1）a1+a10=a3+a8=10(aa)101010110S501022（2）由等差数列的通项公式，得14.5+(n1)0.7=32n=26(14.532)26S604.5262例3:已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.求前16项的和?分析：可以由等差数列性质，直接代入前n项和公式解:由等差数列的性质可得:a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18sn=

7、16/2×18=144答:前16项的和为144。由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出.已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?例4等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？本题实质是反用公式，解一个关于n的一元二次函数，注意得到的项数n必须是正整数.下一页解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列的前n项和，则有a1=－10,d=－6－(－10)