非线性控制系统分析(第八章)课件.ppt

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1、本章要求:本章不会要求画图（据老师说），但是会要求分析。第八章、非线性控制系统分析1例：某弹簧－质量运动系统如图所示，图中为物体的质量，为弹簧的弹性系数，若初始条件为，试确定系统自由运动的相轨迹。解：描述系统自由运动的微分方程式为将上式写为令，则有三、相平面法（5）2整理后得该系统自由运动的相轨迹为以坐标原点为圆心、为半径的圆，见下图。三、相平面法（6）32、相轨迹绘制的等倾线法等倾线法是求取相轨迹的一种作图方法，不需求解微分方程。对于求解困难的非线性微分方程，图解方法显得尤为实用。基本思想：是先确定

2、相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。对于相轨迹微分方程该方程给出了相轨迹在相平面上任一点处切线的斜率。三、相平面法（7）4取相轨迹切线的斜率为某一常数，得等倾线方程由该方程可在相平面上作一条曲线，称为等倾线。当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为。取为若干不同的常数，即可在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率为的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切线方向场。在下张图中，已绘制某系统的等倾线和切线方向场，给定初

3、始点，则相轨迹的绘制过程如下：三、相平面法（8）5由初始点出发，按照该点所处等倾线的短直线方向作一条小线段，并与相邻一条等倾线相交；由该交点起，并按该交点所在等倾线的短直线方向作一条小线段，再与其相邻的一条等倾线相交；循此步骤依次进行，就可以获得一条从初始点出了，由各小线段组成的折线，最后对该折线作光滑处理，即得到所求系统的相轨迹。三、相平面法（9）6使用等倾线法绘制相轨迹应注意以下几点：1）坐标轴和应选用相同的比例尺，以便于根据等倾线斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线。2）在相平面的上半平面，由于

4、，则随增大而增加，相轨迹的走向应是由左向右；在相平面的下半平面，则随增大而减小，相轨迹的走向应由右向左。3）除系统的平衡点外，相轨迹与轴的相交点处切线斜率应为或，即相轨迹与轴垂直相交。三、相平面法（10）74）一般地，等倾线分布越密，则所作的相轨迹越准确。但随所取等倾线的增加，绘图工作量增加，同时也使作图产生的积累误差增大。为提高作图精度，可采用平均斜率法，即取相邻两条等倾线所对应的斜率的平均值为两条等倾线间直线的斜率。三、相平面法（11）83、线性系统的相轨迹线性系统是非线性系统的特例，对于许多非线

5、性一阶和二阶系统（系统中所含非线性环节可用分段折线表示），常可以分成多个区间进行研究，而在各个区间内，非线性系统的运动特性可用线性微分方程描述。（1）线性一阶系统的相轨迹描述线性一阶系统自由运动的微分方程为相轨迹方程为三、相平面法（12）9设系统初始条件为，则，相轨迹如下图所示。由图可知，相轨迹位于过原点，斜率为的直线上。当时，相轨迹沿该直线收敛于原点；当时，相轨迹沿该直线发散至无穷。三、相平面法（13）10(2)线性二阶系统的轨迹描述线性二阶系统自由运动的微分方程为当时，微分方程又可以表示为线性二阶

6、系统的特征根相轨迹微分方程为三、相平面法（14）11令，可得等倾线方程为其中为等倾线的斜率。当，且时，可得满足的两条特殊的等倾线，其斜率为该式表明，特殊的等倾线的斜率等于位于该等倾线上相轨迹任一点的切线斜率，即当相轨迹运动至特殊的等倾线上时，将沿着等倾线收敛或发散，而不可能脱离该等倾线。三、相平面法（15）12下面就线性二阶微分方程参数和的七种不同情况加以具体讨论，其相轨迹曲线采用等倾线法或解析法绘制而得。1）。系统特征根为两个符号相反的互异实根，系统相平面图见下张图。三、相平面法（16）13由图可见

7、，图中两条特殊的等倾线是相轨迹，也是其它相轨迹的渐近线，此外作为相平面的分隔线，还将相平面划分为四个具有不同运动状态的区域。当初始条件位于对应的相轨迹，系统的运动将趋于原点，但只要受到极其微小的扰动，系统的运动将偏离该相轨迹，并最终沿着对应的相轨迹的方向发散至无穷。因此时，线性二阶系统的运动是不稳定的。三、相平面法（17）142）。系统特征根为，相轨迹方程为运用积分法求得相轨迹方程相平面图见右图，相轨迹过初始点，斜率为的直线。当时，相轨迹收敛并最终停止在c轴上；时，相轨迹发散至无穷。三、相平面法（18

8、）153）。取，并分以下几种情况加以分析：①。系统特征根为一对具有负实部的共轭复根。系统的零输入响应为衰减振荡形式。取，运用等倾线法绘制系统的相轨迹如右图所示。相轨迹为向心螺旋线，最终趋于原点。三、相平面法（19）16。系统特征根为为两个互异负实根：系统的零输入响应为非振荡衰减形式，存在两条特殊的等倾线，其斜率分别为系统相平面图见右图。三、相平面法（20）17关于相轨迹的运动形式说明如下：由前面知，线性二阶系统的等倾斜率为可求得当等倾线位于第Ⅰ，Ⅲ象限时