自动控制原理第2章.doc

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1、第二章自动控制系统的数学模型教学时数：12学时教学目的与要求：1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。4.掌握传递函数的概念及性质。5.掌握典型环节的传递函数形式。6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和梅逊公式求传递函数的方法。8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。教学重点：自动控制系统微分方程的建立、非线性微分方程的线性化、传递函数、动态结构图。教学难点：拉普拉斯变换与传递函数、

2、动态结构图的关系。分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立数学模型的方法分为解析法和实验法。解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理，化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号，单位脉冲信号，正弦信号等）根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。总结：前种方法适用于简单，典型，通用常见的系统；而后种适用于复杂，非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。§2-1控制系统微分方程的建立基

3、本步骤：分析各元件工作原理,明确输入、输出量，建立输入、输出量的动态联系，消去中间变量，标准化微分方程，列写微分方程的一般方法。例1.列写如图所示RC网络的微分方程。图2-1RC无源网络解：由基尔霍夫定律得：式中:i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变量i,可得:令（时间常数），则微分方程为：例2.设有一弹簧·质量·阻尼动力系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动，试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的动态方程。其中弹簧的弹性系数为k，阻尼器的阻尼系数为B，质量块的质量为m。图2-2m-K-f系统解：分析质量块m受力，有外力F,弹簧恢复力Ky（t）阻尼

4、力,惯性力,由于m受力平衡，所以:式中：Fi是作用于质量块上的主动力，约束力以及惯性力。将各力代入上等式，则得:式中：y——m的位移（m）；f——阻尼系数（N/m/s)；K——弹簧刚度（N/m)。将上式的微分方程标准化：令,，即则(2-4)可写成：T称为时间常数，为阻尼比。显然，上式描述了M－K－f系统的动态，它是一个二阶线性定常微分方程。§2－2非线性微分方程的线性化在实际工程中，构成系统的都具有不同程度的非线性，如下图所示：图2-3非线性特性于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化确有必要。对弱非线性的线性化，如上图（a），当输

5、入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。平衡位置附近的小偏差线性化，输入和输出关系为如下所示的非线性。图2-4小偏差线性化在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系函数进行泰勒展开，由数学关系可知，当很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。可得：简记为：y=kx。若非线性函数由两个自变量，如z＝f（x,y），则在平衡点处可展成（忽略高次项）:经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题

6、大大简化。但对于如图（d）所示的非线性为强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。叠加原理:叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性）。例：设线性微分方程式为若时，方程有解，而时，方程有解，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当时，必存在解为，即为可叠加性。若，为实数，则方程解为，这就是齐次性。上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是叠加原理。§2－3传递函数(transferfunction)传递函数的概念与定义线性定常系统

7、在输入、输出初始条件均为零的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。这里，“初始条件为零”有两方面意思：一指输入作用是t＝0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在时的值为零。二指输入信号作用于系统之前系统时静止的，即，系统的输出量及各阶导数为零。许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的。一、传递函数的概念与定义图2-5传递函数图示二、关于传递函数的几点说明传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉氏变换导出；传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入