线性分组码课件.ppt

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1、线性分组码要求掌握的内容线性分组码的定义及性质码的一致校验矩阵和生成矩阵码的伴随式、标准阵列及译码汉明码及译码第一节线性分组码基本概念线性空间线性分组码定义生成矩阵校验矩阵对偶码、系统码和缩短码一、线性空间定义1(线性空间)：如果域F上的n重元素集合V满足下述条件：V关于加法构成阿贝尔群对于V中的任意元素v和F中任意元素c，cv一定属于集合V(数乘运算)分配律成立结合律成立称V是域F上的一个n维线性空间定义2(张成)：给定线性空间V和V中的一个子集S，若V中的任意一个矢量均可用S中的矢量线性组合生成，则称S张成了矢量空间V。定义3(基底和维数)：给定线性

2、空间V，能张成该空间的线性独立矢量的集合成为V的基底，而线性独立矢量的数目称为V的维数定义：[n,k]线性分组码是GF(q)上的n维线性空间中的一个k维子空间。2k2n二、线性分组码基本概念性质：[n,k,d]线性分组码的最小距离等于非零码字的最小重量如何根据k个信息比特来确定对应的n-k个校验比特？——利用校验矩阵——利用生成矩阵给定参数n、k和d三、码的生成矩阵——从线性空间的角度描述分组码由于[n,k,d]线性分组码是一个k维线性空间因此，必可找到k个线性无关的矢量，能张成该线性空间设是k个线性无关的矢量，则对任意，可有：G称为该分组码的生成矩阵设

3、注：生成矩阵G中的每一行都是一个码字任意k个线性独立的码字都可以作为生成矩阵给定一个[n,k,d]线性分组码，其生成矩阵可有多个四、码的校验矩阵——从线性方程组的角度描述分组码n-k个校验位可用k个已知的信息位表示出来校验矩阵H与任意一个码字之积为零，因此有Examples五、几个概念——对偶码、系统码和缩短码对系统码缩短码从[n,k,d]线性分组码的所有码字中，把前面i位全为零的码字挑选出来构成一个新的子集，该子集即为[n,k,d]的缩短码。问题：最小汉明距离有什么变化？第二节线性分组码的译码伴随式汉明码标准阵列一、伴随式设发送码字接收序列根据错误图样

4、的概念，R=C+ES是校验矩阵H中某几列数据的线性组合两个定理定理1：[n,k,d]线性分组码有最小汉明距离d的充要条件是，H矩阵中任意d-1列线性无关定理2：[n,k,d]线性分组码最大可能的最小汉明距离d等于n-k+1二、汉明码参数码长：n=2m-1信息位长度：k=2m-1-m最小汉明距离：d=3校验矩阵有m行，2m-1列，取互不相同的m重构成GF(2)上的[7,4,3]汉明码，001,010,011,100,101,110,111,000。校验矩阵为：Examples:三、标准阵列译码线性分组码的基本译码步骤Step1:由接收到的序列R，计算伴随式

5、S=RHT；Step2:若S=0，正确接收；若S不为零，寻找错误图样；Step3:由错误图样解出码字C=R-E。标准阵列根据许用码字将禁用码字进行分类，分类的依据是错误图样。C1C2…Ci……………………E2E3C2+E2C2+E3Ci+E3Ci+E2C2+Ci+码字禁用码字标准阵列译码(陪集首)两个概念完备译码:[n,k,d]线性分组码的所有2n-k个伴随式在译码过程中都用来纠正所有小于等于t=(d-1)/2个随机错误以及部分大于t的错误图样。限定距离译码：译码时不能达到码的就错能力第三节由已知码构造新码的方法扩展码删余码增广码(增信删余码)增余删信码

6、延长码扩展(Expanded)码基本原理：对[n,k,d]线性分组码中的每一个码字，增加一个校验元，满足：称为全校验位若d为偶数，[n,k,d]码变成了[n+1,k,d]若d为奇数，[n,k,d]码变成了[n+1,k,d+1]校验矩阵扩展(Expanded)码例子：[7,4,3]Hamming码的校验矩阵增加一个全校验位后得到的[8,4,4]扩展Hamming码的校验矩阵删余(Punctured)码基本原理：在原码基础上删去一个校验元，得到[n-1,k]码。是扩展码的逆过程在软判决译码和纠错纠删码中，将删去的符号看作不可靠符号最小汉明距离可能比原码小1，

7、也可能不变例如把上例中的[8,4,4]码的最后一个校验位后，便得到了[7,4,3]Hamming码。此时删余码的校验矩阵可直接从原码的校验矩阵上删去第1行和最后1列得到一般的，若删掉的校验位只参与了其中一个校验方程，则在原码校验矩阵中删掉上述校验位对应的行和列，即可得到新码的校验矩阵增广(Augmented)码基本原理在原码基础上，增加一个信息元，删去一个校验元得到[n,k+1,da]码基本实现方法在原码生成矩阵G的基础上，再选择一个与G中各行都不相关的n维向量，得到新矩阵Ga，该矩阵有n列，k+1行，即得到一个[n,k+1,da]码若原码中没有全1码，

8、可在其G矩阵上增加一组全为1的行，得到增广码的生成矩阵为：且da=min{d,n